Giải Toán 12 trang 14 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 12 trang 14Tập 1

Bài 1.6 trang 14 Toán 12 Tập 1: Đồ thị của đạo hàm bậc nhất$y=f^{\prime }\left(x\right)$ của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Lời giải:

a) Vì $f^{\prime }\left(x\right)>0$ khi $x\in \left(2;4\right)$ và $x\in \left(6;+\mathrm{\infty }\right)$. Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên $\left(2;4\right)$ và $\left(6;+\mathrm{\infty }\right)$.

Vì $f^{\prime }\left(x\right)<0$ khi $x\in \left(0;2\right)$ và $x\in \left(4;6\right)$. Do đó, hàm số f(x) nghịch biến trên $\left(0;2\right)$ và $\left(4;6\right)$.

b) Vì $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(0;2\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \left(2;4\right)$ thì $x=2$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Vì $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \left(2;4\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(4;6\right)$ thì điểm $x=4$ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Vì $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(4;6\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \left(6;+\mathrm{\infty }\right)$ thì điểm $x=6$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Bài 1.7 trang 14 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y=2x^3-9x^2+12x-5$;

b)$y=x^4-4x^2+2$c)$y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$;d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

$y^{\prime }=6x^2-18x+12$, $y^{\prime }=0\iff 6x^2-18x+12=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-5$ có điểm cực đại là $\left(1;0\right)$.

Hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-5$ có điểm cực tiểu là $\left(2;-1\right)$.

b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-8x,y^{\prime }=0\iff 4x^3-8x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=x^4-4x^2+2$ đạt cực đại tại $x=0$ và .

Hàm số $y=x^4-4x^2+2$ đạt cực tiểu tại $x=\pm \sqrt{2}$ và $y_{CT}=-2$.

c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=1-\sqrt{2}\\ x=1+\sqrt{2}\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ đạt cực đại tại $x=1-\sqrt{2}$ và .

Hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ đạt cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}$ và $y_{CT}=2\sqrt{2}$.

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$

Tập xác định: $D=\left[0;2\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{-x+1}{\sqrt{4x-2x^2}},y^{\prime }=0\iff x=1\left(tm\right)$

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x=1$, , hàm số không có cực tiểu.

Bài 1.8 trang 14 Toán 12 Tập 1:Cho hàm số$y=f\left(x\right)=\left|x\right|$.

a) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ và $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$. Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x=0$. (Xem Hình 1.4)

Lời giải:

a) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{x}=1$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x}{x}=-1$

Vì $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\ne \underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.

b) Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$:

Ta có: $y=f\left(x\right)=\left|x\right|=\{\begin{array}{l}-xkhix\in \left(-\mathrm{\infty };0\right)\\ xkhix\in \left(0;+\mathrm{\infty }\right)\end{array}$

Hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$ liên tục và xác định trên $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$

Với số $h>0$ ta có: Với $x\in \left(-h;h\right)\subset \left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$ và $x\ne 0$ thì $y=f\left(x\right)=\left|x\right|>0=f\left(0\right)$

Do đó, hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$ có cực tiểu là $x=0$.

Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số$f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}},t\ge 0,$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?