Giải Toán 12 trang 9 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 9 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+5x+2$;

b) $y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=x^2+6x+5,y^{\prime }=0\iff x^2+6x+5=0\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=-5\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+5x+2$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-5\right)$ và $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+5x+2$ nghịch biến trên khoảng $\left(-5;-1\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(-2x+5\right)\left(x-2\right)-\left(-x^2+5x-7\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{-x^2+4x-3}{{\left(x-2\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}$ đồng biến trên khoảng $\left(1;2\right)$ và $\left(2;3\right)$.

Hàm số $y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

Vận dụng 1 trang 9 Toán 12 Tập 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).

b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.

Bài toán mở đầu:

Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức $s\left(t\right)=t^3-9t^2+15t,t\ge 0$. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

Lời giải:

a) Ta có: $v\left(t\right)=s^{\prime }\left(t\right)={\left(t^3-9t^2+15t\right)}^{\prime }=3t^2-18t+15$

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $v\left(t\right)>0\iff 3t^2-18t+15>0\iff \left(t-1\right)\left(t-5\right)>0\iff [\begin{array}{l}t<1\\ t>5\end{array}$

$v\left(t\right)<0\iff 3t^2-18t+15<0\iff \left(t-1\right)\left(t-5\right)<0\iff 1<t<5$

Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi $v\left(t\right)>0$, tức là $t\in \left(-\mathrm{\infty };1\right)\cup \left(5;+\mathrm{\infty }\right)$.

Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi $v\left(t\right)<0$, tức là $1<t<5$.

2. Cực trị của hàm số