Giải Toán 12 trang 13 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 12 trang 13Tập 1

Bài 1.1 trang 13 Toán 12 Tập 1:

a) Đồ thị hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ (H.1.11);

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ (H.1.11);

b) Đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{{\left(x^2-4\right)}^2}$ (H.1.12).

Lời giải:

a) Hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ nghịch biến trên $\left(0;1\right)$.

b) Hàm số $y=\sqrt[3]{{\left(x^2-4\right)}^2}$ đồng biến trên $\left(-2;0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\sqrt[3]{{\left(x^2-4\right)}^2}$ nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(0;2\right)$.

Bài 1.2 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$;

b) $y=-x^3+2x^2-5x+3$.

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$;

b) $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{2x+4-2x+1}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{5}{\left(x+2\right)}>0\mathrm{\forall }x\ne -2$

Do đó, hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(-2;+\mathrm{\infty }\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{3\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(x^2+x+4\right)}^{\prime }\left(x-3\right)-\left(x^2+x+4\right){\left(x-3\right)}^{\prime }}{{\left(x-3\right)}^2}=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-3\right)-x^2-x-4}{{\left(x-3\right)}^2}=\frac{x^2-6x-7}{{\left(x-3\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff \frac{x^2-6x-7}{{\left(x-3\right)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=7\\ x=-1\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-1;3\right)$ và $\left(3;7\right)$.

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(7;+\mathrm{\infty }\right)$.

Bài 1.4 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{4-x^2}$;b) $y=\frac{x}{x^2+1}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\left[-2;2\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(4-x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}},y^{\prime }=0\iff x=0\left(tm\right)$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\sqrt{4-x^2}$ đồng biến trên khoảng $\left(-2;0\right)$.

Hàm số $y=\sqrt{4-x^2}$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có:$y^{\prime }=\frac{\left(x^2+1\right)-2x.x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-x^2+1}{{\left(x^2+1\right)}^2},y^{\prime }=0\iff \frac{-x^2+1}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$, $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$

Bài 1.5 trang 13 Toán 12 Tập 1: Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số$N\left(t\right)=\frac{25t+10}{t+5},t\ge 0$, trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.b) Tính đạo hàm N’(t) và $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}N\left(t\right)$. Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.

Lời giải:

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2000 là: $N\left(0\right)=\frac{25.0+10}{0+5}=\frac{10}{5}=2$ (nghìn người)

Dân số của thị trấn đó vào năm 2015 là: $N\left(15\right)=\frac{25.15+10}{15+5}=19,25$ (nghìn người)

b) Ta có: , $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}N\left(t\right)=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{25t+10}{t+5}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{25+\frac{10}{t}}{1+\frac{5}{t}}=25$

Vì $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}N\left(t\right)=25$ và nên dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua ngưỡng 25 nghìn người.