Giải Toán 12 trang 69 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 12 trang 69Tập 1

Luyện tập 2 trang 69 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;9;-1\right),B\left(9;4;5\right)$ và $G\left(3;0;4\right)$. Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.

Lời giải:

Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì

$\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_C=3x_G-x_A-x_B=3.3-2-9=-2\\ y_C=3y_G-y_A-y_B=3.0-9-4=-13\\ z_C=3z_G-z_A-z_B=3.4+1-5=8\end{array}$

Vậy $C\left(-2;-13;8\right)$

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

HĐ3 trang 69 Toán 12 Tập 1: Thiết lập biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=1$và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0$

b) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ để tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i};\overrightarrow{a}.\overrightarrow{j};\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}$

c) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{b}=x^{\text{'}}\overrightarrow{i}+y^{\text{'}}\overrightarrow{j}+z^{\text{'}}\overrightarrow{k}$ để tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|.\cos 0^0={\left|\overrightarrow{i}\right|}^2=1$

Vì $\overrightarrow{i}\mathrm{\perp }\overrightarrow{j}\Rightarrow \overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0;\overrightarrow{i}\mathrm{\perp }\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0$

b) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right)\overrightarrow{i}=x.{\overrightarrow{i}}^2+y\overrightarrow{.j}.\overrightarrow{i}+z.\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=x$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{j}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right)\overrightarrow{j}=x\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+y{\overrightarrow{j}}^2+z\overrightarrow{k}.\overrightarrow{j}=y$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right).\overrightarrow{k}=x\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}+y\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}+z.{\overrightarrow{k}}^2=z$

c) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right).\left(x^{\prime }\overrightarrow{i}+y^{\prime }\overrightarrow{j}+z^{\prime }\overrightarrow{k}\right)$

$=x{x}^{\prime }{\overrightarrow{i}}^2+x{y}^{\prime }.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+x{z}^{\prime }\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}+x^{\prime }y.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+y{y}^{\prime }.{\overrightarrow{j}}^2+y{z}^{\prime }\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}+z{x}^{\prime }.\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}+z{y}^{\prime }.\overrightarrow{k}\overrightarrow{j}+z{z}^{\prime }{\overrightarrow{k}}^2$

Mà $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0;\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0;\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=0$ nên: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$

Luyện tập 3 trang 69 Toán 12 Tập 1: Trong ví dụ 3, tính ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2$

Lời giải:

Ta có: ${\overrightarrow{a}}^2=1^2+4^2+2^2=21;{\overrightarrow{b}}^2={\left(-4\right)}^2+1^2+0=17;\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

Do đó, ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2=21+2.0+17=38$