Thiết lập biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 8: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

HĐ3 trang 69 Toán 12 Tập 1: Thiết lập biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=1$và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0$

b) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ để tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i};\overrightarrow{a}.\overrightarrow{j};\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}$

c) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{b}=x^{\text{'}}\overrightarrow{i}+y^{\text{'}}\overrightarrow{j}+z^{\text{'}}\overrightarrow{k}$ để tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|.\cos 0^0={\left|\overrightarrow{i}\right|}^2=1$

Vì $\overrightarrow{i}\mathrm{\perp }\overrightarrow{j}\Rightarrow \overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0;\overrightarrow{i}\mathrm{\perp }\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0$

b) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right)\overrightarrow{i}=x.{\overrightarrow{i}}^2+y\overrightarrow{.j}.\overrightarrow{i}+z.\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=x$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{j}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right)\overrightarrow{j}=x\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+y{\overrightarrow{j}}^2+z\overrightarrow{k}.\overrightarrow{j}=y$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right).\overrightarrow{k}=x\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}+y\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}+z.{\overrightarrow{k}}^2=z$

c) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right).\left(x^{\prime }\overrightarrow{i}+y^{\prime }\overrightarrow{j}+z^{\prime }\overrightarrow{k}\right)$

$=x{x}^{\prime }{\overrightarrow{i}}^2+x{y}^{\prime }.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+x{z}^{\prime }\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}+x^{\prime }y.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+y{y}^{\prime }.{\overrightarrow{j}}^2+y{z}^{\prime }\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}+z{x}^{\prime }.\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}+z{y}^{\prime }.\overrightarrow{k}\overrightarrow{j}+z{z}^{\prime }{\overrightarrow{k}}^2$

Mà $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0;\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0;\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=0$ nên: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$