Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a) AB.CD=AC.CD+BC.DC

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 6: Vectơ trong không gian

Bài 2.12 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

Lời giải:

a) Ta có:$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}$(đpcm)

b)$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{DB}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\right).\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)=0$