Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14). a) Hai vectơ AB, vecto AD và vecto AC có bằng nhau hay không

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 6: Vectơ trong không gian

HĐ4 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14).

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$ có bằng nhau hay không?

b) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ có bằng nhau hay không?

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (1)

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp nên AA’D’D và DD’C’C là hình bình hành. Do đó, AA’//DD’, $A{A}^{\prime }=D{D}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }=C{C}^{\prime }$, DD’//CC’. Suy ra, AA’//CC’ và $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$. Suy ra, tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$