Trong không gian, cho hai vectơ a và b khác 0. Lấy điểm O và vẽ các vectơ OA = a; vecto OB = b

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 6: Vectơ trong không gian

HĐ7 trang 54 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Lấy điểm O và vẽ các vectơ$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vectơ $\overrightarrow{O^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{b}$ (H.2.21).

a) Hãy giải thích vì sao $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$.

b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao $\widehat{AOB}=\widehat{A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

b) Sử dụng kiến thức về định lí côsin để chứng minh: Cho tam giác ABC có, khi đó, $\cos \hat{A}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB};\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{O}^{\prime }}+\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}$

Mà $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{O^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{A^{\prime }{O}^{\prime }};\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}$

Do đó, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$

b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có: $\cos \widehat{AOB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2.OA.OB}$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác A’O’B’ ta có: $\cos \widehat{A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{O^{\prime }A{\prime 2}^{}+O^{\prime }B{\prime 2}^{}-A^{\prime }B{\prime 2}^{}}{2.O^{\prime }{A}^{\prime }.O^{\prime }{B}^{\prime }}$

Vì$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\Rightarrow AB=A^{\prime }{B}^{\prime },\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{A^{\prime }{O}^{\prime }}\Rightarrow OA=O^{\prime }{A}^{\prime };\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}\Rightarrow OB=O^{\prime }{B}^{\prime }$

Do đó, $\cos \widehat{AOB}=\cos \widehat{A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }}\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }}$