Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng vecto AS.BD và vecto AS.CD

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 6: Vectơ trong không gian

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{CD}$

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD. Do đó, O là trung điểm của BD, O là trung điểm của AC.

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo BD là $a\sqrt{2}$$\Rightarrow OB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Gọi E là trung điểm của SC. Mà O là trung điểm của AC nên OE là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, OE//SA, $OE=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2}$. Suy ra: $\overrightarrow{AS}=2\overrightarrow{OE}$

Vì O là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{OB}$

Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, BE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBC. Do đó, $EB=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có: $O{E}^2+O{B}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{3a^2}{4}=E{B}^2$ nên $\mathrm{\Delta }$EOB vuông tại O. Do đó, $\overrightarrow{OE}\mathrm{\perp }\overrightarrow{OB}$

Ta có: $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{OE}.\left(-2\overrightarrow{OB}\right)=-4\overrightarrow{OE}.\overrightarrow{OB}=0$

Tứ giác ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$

Ta có:$\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}=-\left|\overrightarrow{AS}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos \left(\overrightarrow{AS},\overrightarrow{AB}\right)=-\left|\overrightarrow{AS}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos \widehat{SAB}$

Vì tam giác SAB có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SAB đều, suy ra $\widehat{SAB}={60}^0$

Suy ra: $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{CD}=-\left|\overrightarrow{AS}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos \widehat{SAB}=-a.a.\cos {60}^0=\frac{-a^2}{2}$