Giải Toán 12 trang 57 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{CD}$

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD. Do đó, O là trung điểm của BD, O là trung điểm của AC.

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo BD là $a\sqrt{2}$$\Rightarrow OB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Gọi E là trung điểm của SC. Mà O là trung điểm của AC nên OE là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, OE//SA, $OE=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2}$. Suy ra: $\overrightarrow{AS}=2\overrightarrow{OE}$

Vì O là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{OB}$

Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, BE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBC. Do đó, $EB=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có: $O{E}^2+O{B}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{3a^2}{4}=E{B}^2$ nên $\mathrm{\Delta }$EOB vuông tại O. Do đó, $\overrightarrow{OE}\mathrm{\perp }\overrightarrow{OB}$

Ta có: $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{OE}.\left(-2\overrightarrow{OB}\right)=-4\overrightarrow{OE}.\overrightarrow{OB}=0$

Tứ giác ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$

Ta có:$\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}=-\left|\overrightarrow{AS}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos \left(\overrightarrow{AS},\overrightarrow{AB}\right)=-\left|\overrightarrow{AS}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos \widehat{SAB}$

Vì tam giác SAB có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SAB đều, suy ra $\widehat{SAB}={60}^0$

Suy ra: $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{CD}=-\left|\overrightarrow{AS}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|\cos \widehat{SAB}=-a.a.\cos {60}^0=\frac{-a^2}{2}$

Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng$\overrightarrow{A^{\prime }C}.\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=0$.

Lời giải:

Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1. Khi đó, $A^{\prime }{C}^{\prime }=B^{\prime }{D}^{\prime }=\sqrt{2}$

Gọi E’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ của hình vuông A’B’C’D’. Khi đó, E’ là trung điểm của A’C’ và B’D’. Suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=2\overrightarrow{E^{\prime }{D}^{\prime }}$ và $E^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Gọi E là trung điểm của CC’. Mà E’ là trung điểm của A’C’ nên EE’ là đường trung bình của tam giác A’C’C. Do đó, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=2\overrightarrow{E^{\prime }E}$ và $E^{\prime }E=\frac{1}{2}{A}^{\prime }C$

Áp dụng định lí Pythagore vào $\mathrm{\Delta }$A’C’C vuông tại C’ có: $A^{\prime }C=\sqrt{A^{\prime }C{\prime 2}^{}+C^{\prime }{C}^2}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$$\Rightarrow E^{\prime }E=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng định lí Pythagore vào $\mathrm{\Delta }$D’C’E vuông tại C’ có:

$ED{\prime 2}^{}=C^{\prime }D{\prime 2}^{}+C^{\prime }{E}^2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

Vì $E^{\prime }D{\prime 2}^{}+E^{\prime }{E}^2=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=ED{\prime 2}^{}$ nên $\mathrm{\Delta }$E’D’E vuông tại E’. Do đó, $\overrightarrow{E^{\prime }E}\mathrm{\perp }\overrightarrow{E^{\prime }{D}^{\prime }}$

Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }C}.\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=2.\overrightarrow{E^{\prime }E}.2.\overrightarrow{E^{\prime }{D}^{\prime }}$$=0$ (đpcm)

Vận dụng 4 trang 57 Toán 12 Tập 1: Như đã biết, nếu có một lực$\overrightarrow{F}$ tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{MN}$, trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao. Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?

Lời giải:

Ta có: $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{MN}=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{MN}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{MN}\right)$

Vì lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên A lớn nhất khi $\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{MN}\right)$ lớn nhất. Do đó, $\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{MN}\right)=1\iff \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{MN}\right)=0^0$ . Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.

Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật.