Giải Toán 12 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 8 trang 54 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{IG}$ (H.2.19). Chứng minh rằng $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Theo ví dụ 8 ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$$\Rightarrow \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{ID}=3\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=3\overrightarrow{AG}-3\overrightarrow{AI}=3\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{IA}\right)=3\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{AI}$$\Rightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$

Vận dụng 3 trang 54 Toán 12 Tập 1: Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900km/h và 920km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Hãy giải thích vì sao $\overrightarrow{F_1}=k\overrightarrow{F_2}$ với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ có cùng hướng. Do đó, $\overrightarrow{F_1}=k\overrightarrow{F_2}$ với k là một số thực dương nào đó (1).

Gọi $v_1,v_2$ lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900km/h và 920km/h.

Suy ra $v_1=900\left(km/h\right),v_2=920\left(km/h\right)$

Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên

$\frac{\left|\overrightarrow{F_1}\right|}{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}=\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{{900}^2}{{920}^2}=\frac{2025}{2116}\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_1}\right|=\frac{2025}{2116}\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\overrightarrow{F_1}=\frac{2025}{2116}\overrightarrow{F_2}\Rightarrow k=\frac{2025}{2116}\approx 0,96$

HĐ7 trang 54 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Lấy điểm O và vẽ các vectơ$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vectơ $\overrightarrow{O^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{b}$ (H.2.21).

a) Hãy giải thích vì sao $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$.

b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao $\widehat{AOB}=\widehat{A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

b) Sử dụng kiến thức về định lí côsin để chứng minh: Cho tam giác ABC có, khi đó, $\cos \hat{A}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB};\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{O}^{\prime }}+\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}$

Mà $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{O^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{A^{\prime }{O}^{\prime }};\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}$

Do đó, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$

b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có: $\cos \widehat{AOB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2.OA.OB}$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác A’O’B’ ta có: $\cos \widehat{A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{O^{\prime }A{\prime 2}^{}+O^{\prime }B{\prime 2}^{}-A^{\prime }B{\prime 2}^{}}{2.O^{\prime }{A}^{\prime }.O^{\prime }{B}^{\prime }}$

Vì$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\Rightarrow AB=A^{\prime }{B}^{\prime },\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{A^{\prime }{O}^{\prime }}\Rightarrow OA=O^{\prime }{A}^{\prime };\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}\Rightarrow OB=O^{\prime }{B}^{\prime }$

Do đó, $\cos \widehat{AOB}=\cos \widehat{A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }}\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }}$