Giải Toán 12 trang 47 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 47 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (H.2.6). Trong các vectơ$\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$:

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?

b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?

Lời giải:

a) Trong các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, hai vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD)

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $AD=DC=D{D}^{\prime }$

Tam giác ADD’ vuông tại D nên theo định lý Pythagore ta có:

$A{D}^{\prime }=\sqrt{A{D}^2+DD{\prime 2}^{}}=AD\sqrt{2}$

Tam giác ADC vuông tại D nên theo định lý Pythagore ta có:

$AC=\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=AD\sqrt{2}$

Do đó, $A{D}^{\prime }=AC$ hay $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\right|$. Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ có cùng độ dài.

HĐ2 trang 47 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.7)

a) So sánh độ dài hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$.

b) Nhận xét về giá của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$.

c) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ có cùng phương không? Có cùng hướng không?

Lời giải:

a) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên ABCD và DCC’D’ là các hình bình hành. Suy ra, $AB=CD=D^{\prime }{C}^{\prime }$. Do đó, $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right|$.

b) Vì ABCD và DCC’D’ là các hình bình hành nên AB//CD, CD//C’D’. Do đó, AB//C’D’. Vậy giá của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ song song với nhau.

c) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ cùng phương và cùng hướng.

Câu hỏi trang 47 Toán 12 Tập 1: Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?

Lời giải:

Giả sử có ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ sao cho: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$.

Vì $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ có cùng hướng và $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$ (1)

Vì $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{b}$ có cùng hướng và $\left|\overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{c}$ có cùng hướng và $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|$. Do đó, $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}$

Do đó, hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó bằng nhau.