Giải Toán 12 trang 50 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 50 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12).

Lời giải:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên DCC’D’ là hình vuông. Do đó, $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{CD}$.

Ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$

Vì độ dài mỗi cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1 nên $\left|\overrightarrow{AD}\right|=1$.

Vậy $\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}\right|=1$

Luyện tập 4 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

Lời giải:

Ta có:$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (đpcm)

HĐ4 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14).

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$ có bằng nhau hay không?

b) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ có bằng nhau hay không?

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (1)

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp nên AA’D’D và DD’C’C là hình bình hành. Do đó, AA’//DD’, $A{A}^{\prime }=D{D}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }=C{C}^{\prime }$, DD’//CC’. Suy ra, AA’//CC’ và $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$. Suy ra, tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$

Câu hỏi trang 50 Toán 12 Tập 1: Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B.

Lời giải:

Quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B là: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$

Luyện tập 5 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng$\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$

Lời giải:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$

Ta có: $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$