Cho tứ giác ABCD có là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 2.17 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

Lời giải:

Xét tứ giác ABCD

Hai đường chéo BD và AC cắt nhau tại I, $\widehat{AIB}=\alpha$ là góc nhọn

Kẻ AH vuông góc với BD tại H

Kẻ CK vuông góc với BD tại K

Xét tam giác AHI vuông tại H

Ta có:  $\sin \widehat{AIH}=\frac{AH}{AI}$

$\Rightarrow AH=AI.\sin \widehat{AIH}=AI.\sin \alpha$ 

Xét tam giác CKI vuông tại K

Ta có:  $\sin \widehat{CIK}=\frac{CK}{CI}$

$\Rightarrow CK=CI.\sin \widehat{CIK}=CI.\sin \widehat{AIH}=CI.\sin \alpha$

 (do $\widehat{CIK}$và $\widehat{AIH}$ là hai góc đối đỉnh bằng nhau)

Xét tam giác ABD có đường cao AH

Diện tích tam giác ABD là:

$S_{ABD}=\frac{1}{2}.AH.BD=\frac{1}{2}AI.BD.\sin \alpha$

Xét tam giác CBD có đường cao CK

Diện tích tam giác CBD là:

$S_{CBD}=\frac{1}{2}.CK.BD=\frac{1}{2}CI.BD.\sin \alpha$

Từ đó, diện tích của tứ giác ABCD là:

$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{CBD}\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AI.BD.\sin \alpha +\frac{1}{2}CI.BD.\sin \alpha \Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD.\sin \alpha .(AI+CI)\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD.\sin \alpha .CA\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD.CA.\sin \alpha$

 (điều cần phải chứng minh)