Cho tam giác ABC

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 2.16 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

Lời giải:

Xét tam giác ABC

Kẻ đường cao BH của tam giác ABC thì H nằm trên tia AC để $\widehat{A}={60}^o$ là góc nhọn.

Có $HC=AC-AH$

$\Rightarrow H{C}^2={(AC-AH)}^2$

Xét tam giác BHC vuông tại H (do BH là đường cao) ta có:

$B{C}^2=B{H}^2+C{H}^2\Rightarrow B{C}^2=B{H}^2+{(AC-AH)}^2\Rightarrow B{C}^2=B{H}^2+A{C}^2-2AC.AH+A{H}^2\left(1\right)$

Xét tam giác ABH vuông tại H (do BH là đường cao) ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$ (2)

$\cos A=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AH=\cos A.AB=cos{60}^o.AB=\frac{1}{2}AB\left(3\right)$

Từ (1) và (2) ta suy ra

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AC.AH\left(4\right)$

Từ (3) và (4) ta suy ra  

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AC.\frac{1}{2}AB=A{B}^2+A{C}^2-AC.AB$

(điều cần phải chứng minh)