Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức

Bài 11 trang 26 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức $\frac{x^3-x^2-x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x^4-2x^2+1};\frac{5x^3+10x^2+\text{\hspace{0.17em}}5x}{x^3+\text{\hspace{0.17em}}3x^2+3x+\text{}1}$  theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.

Lời giải:

Ta rút gọn các phân thức đã cho:

$\begin{array}{l}\frac{x^3-x^2-x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x^4-2x^2+1}=\frac{(x^3-x^2)-(x-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1)}{{(x^2-1)}^2}\\ =\frac{x^2(x-1)-1.(x-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1)}{{(x^2-1)}^2}=\frac{(x-1)(x^2-1)}{{(x^2-1)}^2}\\ =\frac{x-1}{x^2-1}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{x-1}{(x+1).(x-1)}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{1}{x+1}\text{}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{5x^3+10x^2+\text{\hspace{0.17em}}5x}{x^3+\text{\hspace{0.17em}}3x^2+3x+\text{}1}=\frac{5x(x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+1)}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}^3}\\ \\ =\frac{5x{(x+1)}^2}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}^3}=\frac{5x}{x+1}\end{array}$

Khi đó hai phân thức cần tìm là $\frac{1}{x+1}$ và $\frac{5x}{x+1}$.

Thật vậy, nếu còn có hai phân thức khác thỏa mãn điều kiện của bài toán với bậc của mẫu thức chung thấp hơn mẫu thức chung ấy phải có bậc 0 tức là một hằng số a khác 0 nào đó. Chẳng hạn, $\frac{1}{x+1}=\frac{b}{a}$. Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau ta có 1.a = b(x + 1) = bx + b. Vì a ≠ 0 nên b ≠ 0. Do đó bậc của vế phải không nhỏ hơn 1 còn bậc của vế trái lại bằng 0. Điều đó là vô lý.

Vậy hai phân thức cần tìm là $\frac{1}{x+1}$ và $\frac{5x}{x+1}$.