Tính tích x.y, biết rằng x và y thỏa mãn các đẳng thức

Giải SBT Toán 8 Bài 7. Phép nhân các phân thức đại số

Bài 33 trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: 

a) (4a² – 9)x = 4a + 4; với $a\ne \pm \frac{3}{2}$ 

và (3a³ + 3)y = 6a² + 9a với a ≠ – 1

b) (2a³ – 2b³)x – 3b = 3a; với a ≠ b

và (6a + 6b)y = (a – b)² với a ≠ – b

(Chú ý rằng:

 $a^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}ab+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{b}^2=a^2+\text{\hspace{0.17em}}2a.\frac{b}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{b^2}{4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{3b^2}{4}$

$={\left(a+\text{\hspace{0.17em}}\frac{b}{2}\right)}^2+\text{\hspace{0.17em}}\frac{3b^2}{4}\ge 0$

Do đó nếu $a\ne 0$ hoặc $b\ne 0$ 

thì a²  +  ab +  b² > 0).

Lời giải:

a) +) Vì $a\ne \pm \frac{3}{2}$ nên

4a² – 9 = (2a – 3)(2a + 3) ≠ 0

Nên từ (4a² – 9)x = 4a + 4

Suy ra: $x=\frac{4a\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+4}{4a^2-9}$

+) Do

3a³ + 3 = 3(a³ + 1) = 3(a + 1)(a² – a + 1)

Vì a ≠ – 1 nên a + 1 ≠ 0 và

$\begin{array}{l}{a}^2-a+1=a^2-2.a.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\\ ={\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\end{array}$

Do đó 3a³ + 3 ≠ 0

Nên từ (3a³ + 3)y = 6a² + 9a

Suy ra: $y=\frac{6a^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}9a}{3a^3\text{}+3}$  

Do đó:

$\begin{array}{l}xy=\frac{4a\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+4}{4a^2-9}.\frac{6a^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}9a}{3a^3\text{}+3}\\ =\frac{(4a\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+4).(6a^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}9a)}{(4a^2-9).(3a^3\text{}+3)}\end{array}$

$=\frac{4(a+\text{\hspace{0.17em}}1).3a(2a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3)}{(2a-3).(2a+\text{\hspace{0.17em}}3).3(a+\text{\hspace{0.17em}}1).(a^2-a+\text{}1)}$

$=\frac{4a}{(2a-3).(a^2-a\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1)}$

b) Tương tự, vì a ≠ b nên

2a³ – 2b³ = 2(a – b)(a² + ab + b²) ≠ 0.

Suy ra: $x=\frac{3a+\text{\hspace{0.17em}}3b}{2a^3-2b^3}$ .

Vì a ≠ – b nên a + b ≠ 0.

Suy ra: $y=\frac{{(a-b)}^2}{6a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}6b}$ .

Vậy 

$xy=\frac{3a+\text{\hspace{0.17em}}3b}{2a^3-2b^3}.\frac{{(a-b)}^2}{6a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}6b}$

$=\frac{3(a+\text{}b).{(a-b)}^2}{2(a-b)(a^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}ab+b^2)6(a+\text{}b)}$

$=\frac{a-b}{4(a^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}ab+b^2)}$