Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số

Giải Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Video Giải Bài 53 trang 58 Toán 8 Tập 1

Bài 53 trang 58 Toán 8 Tập 1:

b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức: $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}}.$

Lời giải 

a) $1+\frac{1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x};$

$\begin{array}{l}1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=1+\frac{x}{x+1}\\ =\frac{x+1}{x+1}+\frac{x}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1};\end{array}$

$\begin{array}{l}1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=1+\frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}}=1+\frac{x+1}{2x+1}\\ =\frac{2x+1}{2x+1}+\frac{x+1}{2x+1}=\frac{3x+2}{2x+1}.\end{array}$                   

b) Dựa vào các biểu thức của ý a) ta rút ra một quy luật như sau:

Giả sử viết các phân thức trên thành một dãy thì phân thức sau có tử bằng tổng của tử và mẫu của phân thức đứng liền trước và mẫu bằng tử của phân thức đứng liền trước đó.

Theo đó ta có dự đoán cho các biểu thức tiếp theo như sau:

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}=\frac{3x+2+2x+1}{3x+2}=\frac{5x+3}{3x+2}.$

Tương tự với biểu thức mà đầu bài yêu cầu:

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}}=\frac{5x+3+3x+2}{5x+3}=\frac{8x+5}{5x+3}.$

Kiểm tra dự đoán:

$\begin{array}{l}1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{x+1}{x}}}}}\\ =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{x}{x+1}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}}}}\\ =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{x+1}{2x+1}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{3x+2}{2x+1}}}\\ =1+\frac{1}{1+\frac{2x+1}{3x+2}}=1+\frac{1}{\frac{5x+3}{3x+2}}\\ =1+\frac{3x+2}{5x+3}=\frac{5x+3+3x+2}{5x+3}=\frac{8x+5}{5x+3}.\end{array}$

Vậy dự đoán đưa ra đúng.