Cho tam giác ABC vuông tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 18 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

Lời giải:

Gọi a, b , c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.

Ta có: b = 30cm, c = 40cm. 

Xét tam giác ABH vuông tại H có: $\widehat{BHA}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{ABH}+\widehat{HAB}={90}^o$ (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có: $\widehat{BAC}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{BAH}+\widehat{HAC}={90}^o$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $\widehat{ABH}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$)

Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông CHA, ta có: 

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}={90}^o$ (do AH là đường cao của tam giác ABC)

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH (theo trường hợp góc-góc) (3)

$\Rightarrow \frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}=\frac{BA}{AC}=\frac{HB+HA+BA}{HA+HC+AC}=\frac{b}{c}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{BA}{3}=\frac{AC}{4}\Rightarrow \frac{B{A}^2}{9}=\frac{A{C}^2}{16}=\frac{B{A}^2+A{C}^2}{9+16}=\frac{B{A}^2+A{C}^2}{25}\left(1\right)$

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Pytago , ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\frac{B{A}^2}{9}=\frac{A{C}^2}{16}=\frac{B{C}^2}{25}\Rightarrow \frac{BA}{3}=\frac{AC}{4}=\frac{BC}{5}$

Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông CAB, ta có:

$\widehat{CAB}=\widehat{CHA}={90}^o$

Góc C chung  

Do đó tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB (theo trường hợp góc – góc) (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra các tam giác ABH, CAH, CBA đồng dạng với nhau nên:

b : c : a = BA : AC : BC = 3 : 4 : 5

$\Rightarrow \frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{a}{5}\iff \frac{30}{3}=\frac{40}{4}=\frac{a}{5}\Rightarrow a=\frac{30}{3}.5=50\left(cm\right)$

Vậy chu vi của tam giác ABC là 50cm.