Cho tam giác ABC

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 20 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

Lời giải:

Xét tam giác BDM vuông tại D (do MD vuông góc với BC tại D)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$B{M}^2=B{D}^2+D{M}^2\Rightarrow B{D}^2=B{M}^2-D{M}^2\left(1\right)$

Xét tam giác CEM vuông tại E (do ME vuông góc với AC tại E)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$C{M}^2=C{E}^2+E{M}^2\Rightarrow C{E}^2=C{M}^2-E{M}^2\left(2\right)$

Xét tam giác AFM vuông tại F (do MF vuông góc với AB tại F)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$A{M}^2=A{F}^2+F{M}^2\Rightarrow A{F}^2=A{M}^2-F{M}^2\left(3\right)$

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

$B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=B{M}^2-D{M}^2+C{M}^2-E{M}^2+A{M}^2-F{M}^2\left(4\right)$

Xét tam giác BFM vuông tại F (do MF vuông góc với AB tại F)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$B{M}^2=B{F}^2+F{M}^2\left(5\right)$

Xét tam giác CDM vuông tại D (do MD vuông góc với BC tại D)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$C{M}^2=C{D}^2+D{M}^2$ (6)

Xét tam giác AEM vuông tại E (do ME vuông góc với AC tại E)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$A{M}^2=A{E}^2+E{M}^2$ (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

$B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=B{F}^2+F{M}^2-D{M}^2+C{D}^2+D{M}^2-E{M}^2+A{E}^2+E{M}^2-F{M}^2\iff B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2\left(đpcm\right)$