Cho tam giác ABC vuông tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 19 trang 105 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

Theo định lý Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100

Suy ra BC = 10cm.

Vì BM là đường phân giác trong của góc B nên ta áp dụng tính chất đường phân giác có:  

$\frac{MA}{MC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{MA}{MA+MC}=\frac{AB}{AB+BC}$ (do tính chất tỉ lệ thức)

$\Rightarrow MA=\frac{AB(MA+MC)}{AB+BC}=\frac{AB.AC}{AB+BC}=\frac{6.8}{6+10}=3\left(cm\right)$

Vì BM, BN lần lượt là đường phân giác của góc trong và góc ngoài tại đỉnh B nên ta có:

$2\widehat{NBA}+2\widehat{ABM}={180}^o\Rightarrow \widehat{NBA}+\widehat{ABM}={90}^o$

$\Rightarrow BM\perp BN$ tại B

Do đó, tam giác BMN vuông tại B. 

Xét tam giác BMN vuông tại B có đường cao BA (do tam giác ABC vuông tại A)

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

$A{B}^2=AM.AN\Rightarrow AN=\frac{A{B}^2}{AM}=\frac{6^2}{3}=12\left(cm\right)$