Cho tam giác ABC vuông tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 11 trang 104 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

Lời giải:

Xét tam giác ABH vuông tại H có: $\widehat{BHA}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{ABH}+\widehat{HAB}={90}^o$ (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có: $\widehat{BAC}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{BAH}+\widehat{HAC}={90}^o$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $\widehat{ABH}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$)

Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH ta có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AHC}={90}^o$

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH (theo trường hợp góc-góc)

$\Rightarrow \frac{AH}{HC}=\frac{AB}{CA}$ (3)

Theo đề bài, ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có:  

$\frac{AH}{HC}=\frac{5}{6}\Rightarrow HC=\frac{6}{5}AH=\frac{6}{5}.30=36\left(cm\right)$

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$A{H}^2=BH.CH\Rightarrow BH=\frac{A{H}^2}{CH}=\frac{{30}^2}{36}=25\left(cm\right)$