Cho tam giác ABC vuông cân tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 1.9 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Tam giác HCD đồng dạng với tam giác ABM

b) AH = 2HD

Lời giải:

a)

Xét tam giác HCD và tam giác CDM

Góc C chung

$\widehat{CHD}=\widehat{CDM}={90}^o$ (do D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC)

Do đó, tam giác CHD và tam giác CDM đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc.  (1)

Xét tam giác CDM và tam giác ABM

$\widehat{CMD}=\widehat{AMB}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{MDC}=\widehat{BAM}={90}^o$ (do tam giác ABC vuông cân tại A, D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM)

Do đó, tam giác CDM và tam giác BAM đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc. (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra tam giác CHD đồng dạng với tam giác BAM. Vậy khẳng định (a) là đúng.

b)

 Tam giác CHD đồng dạng với tam giác BAM

$\Rightarrow \frac{HC}{AB}=\frac{HD}{AM}$

Mà AB = 2AM (Do BM là đường trung tuyến)

$\Rightarrow \frac{HC}{HD}=\frac{AB}{AM}=2\Rightarrow HC=2HD$

Ta có HC < MC (H là chân đường cao hạ từ D của tam giác vuông DCM)

Mà HC = 2HD  2HD < MC

Ta có: MC = MA (do BM là đường trung tuyến) và MA < AH (do M nằm giữa A và H)

$\Rightarrow$ 2HD < MA < AH

$\Rightarrow$ AH $\ne$ 2HD

Vậy khẳng định (b) là sai.