Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 1.10 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB.

Lời giải:

AC vuông góc với BD tại H

Xét tam giác ABD vuông tại A (do hình thang ABCD có góc A vuông)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$A{D}^2=HD.BDA{B}^2=HB.BD\Rightarrow \frac{HD}{HB}=\frac{HD.BD}{HB.BD}=\frac{A{D}^2}{A{B}^2}=\frac{4^2}{6^2}=\frac{4}{9}$

Xét tam giác HDC và tam giác HBA có:

$\widehat{DHC}=\widehat{AHB}={90}^o$ (do AC vuông góc với BD tại H)

$\widehat{ACD}=\widehat{CAB}$ (hai góc so le trong do AB // CD do ABCD là hình thang)

Do đó, tam giác HDC đồng dạng HBA theo trường hợp góc góc

$\Rightarrow \frac{DC}{AB}=\frac{HD}{HB}=\frac{4}{9}\Rightarrow DC=\frac{4}{9}.AB=\frac{4}{9}.6=\frac{8}{3}\left(cm\right)$

Kẻ CK vuông góc với AB

Do đó, DCKA là hình chữ nhật (do có ba góc vuông)

$\Rightarrow$ DC = KA, AD = KC

$\Rightarrow KB=AB-KA=AB-DC=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

Xét tam giác vuông KBC vuông tại K

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

$B{C}^2=K{B}^2+K{C}^2=K{B}^2+A{D}^2={\left(\frac{10}{3}\right)}^2+16=\frac{244}{9}\Rightarrow BC=\sqrt{\frac{244}{9}}=\frac{2\sqrt{61}}{3}\left(cm\right)$

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

$D{B}^2=A{B}^2+A{D}^2=6^2+4^2=52\Rightarrow DB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\left(cm\right)$