Lý thuyết Tứ giác nội tiếp (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Bài giảng Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

A. Lý thuyết

1. Khái niệm về tứ giác nội tiếp

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Ví dụ 1. Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn (O) như hình vẽ.

Do đó, ta gọi tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Ví dụ 2. Bốn điểm M, N, P, Q không cùng nằm trên đường tròn (I) như hình vẽ.

Do đó, ta gọi tứ giác MNPQ không là tứ giác nội tiếp.

2. Định lí

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.

Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}={180}^o$.

Lời giải:

Theo tính chất góc nội tiếp chắn cung, ta có:

3. Định lí đảo

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Ví dụ 4. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}={100}^o;\widehat{C}={80}^o$.

Khi đó, tứ giác ABCD có $\widehat{A}+\widehat{C}={100}^o+{80}^o={180}^o$.

Do đó tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

4. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.

- Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.

Ví dụ 5. Tứ giác ABCD có , góc ngoài của tam giác tại đỉnh A có số đo bằng 80^o.

Xét tứ giác ABCD có:

+ $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$ là hai góc đối diện.

+ Góc ngoài đỉnh A và góc trong đỉnh C có tổng số đo bằng 180^o.

Do đó tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

$\widehat{BMC}$ và $\widehat{BNC}$ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90^o.

Do đó tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp.

Vậy các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp.

Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua C và vuông góc với NM cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD.

Lời giải:

a) Xét tứ giác ACNM có:

$\widehat{MNC}={90}^o$ (vì $NM\perp CD$);

$\widehat{MAC}={90}^o$ (vì Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)).

Do đó tứ giác ACNM nội tiếp đường tròn đường kính MC.

Xét tứ giác BDNM có:

$\widehat{MND}={90}^o$ (vì $NM\perp CD$);

$\widehat{MBD}={90}^o$ (vì By là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)).

Do đó tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD.

Vậy các tứ giác ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Xét ∆ANB và ∆CMD có:

$\widehat{BAN}=\widehat{DCM}$ (tứ giác ACNM nội tiếp)

$\widehat{ABN}=\widehat{CDM}$ (tứ giác BDNM nội tiếp)

Do đó ∆ANB ∆CMD (g.g).