Lý thuyết Phương trình bậc hai một ẩn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài giảng Toán 9 Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$

trong đó x là ẩn, a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và $\mathrm{a}\ne 0$.

Ví dụ 1:

a) ${\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1=0$ là một phương trình bậc hai với a = 1; b = -2; c = 1.

b) ${\mathrm{x}}^2-9=0$ là một phương trình bậc hai với a = 1; b = 0; c = -9.

2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai

a) Trường hợp b = 0.

Với trường hợp b = 0 thì khi đó phương trình bậc hai của chúng ta là ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{c}=0$

+ Nếu a và c cùng dấu thì phương trình sẽ vô nghiệm

Ví dụ 2: $3{\mathrm{x}}^2+9=0\iff 3{\mathrm{x}}^2=-9$ (vô lí)

+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình sẽ có hai nghiệm

Ví dụ 3: ${\mathrm{x}}^2-4=0\iff {\mathrm{x}}^2=4\iff \mathrm{x}=\pm 2$.

b) Trường hợp c = 0.

Với trường hợp c = 0 thì khi đó phương trình bậc hai của chúng ta là ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}=0$

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm là x = 0 và x = $\mathrm{x}=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$.

Ví dụ 4: ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}=0$

$\iff \mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)=0\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}-3=0\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=3\end{array}$

c) Trường hợp $\mathrm{a}\ne 0;\mathrm{b}\ne 0;\mathrm{c}\ne 0$.

Khi đó ta sẽ biến đổi phương trình ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ thành tổng của một bình phương với một số.

Ví dụ 5: ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3=0$

$\iff {\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4-1=0\iff {\left(\mathrm{x}-2\right)}^2-1=0\iff {\left(\mathrm{x}-2\right)}^2=1$

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai một ẩn? Chỉ rõ hệ số a; b; c.

a) ${\left(\mathrm{x}+3\right)}^2-2{\mathrm{x}}^2=0$

b) $2{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2-2{\mathrm{x}}^2=0$

c) $4{\mathrm{x}}^2-16=0$

Lời giải:

a) ${\left(\mathrm{x}+3\right)}^2-2{\mathrm{x}}^2=0$

$\iff {\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9-2{\mathrm{x}}^2=0\iff -{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9=0$

Đây là phương trình bậc hai một ẩn với a = -1; b = 6; c = 9.

b) $2{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2-2{\mathrm{x}}^2=0$

$\iff 2\left({\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9\right)-2{\mathrm{x}}^2=0\iff 2{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{x}+18-2{\mathrm{x}}^2=0$

$\iff 0{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{x}+18=0$ đây không phải phương trình bậc hai một ẩn vì a = 0.

c) $4{\mathrm{x}}^2-16=0$

Đây là phương trình bậc hai một ẩn với a = 4; b = 0; c = -16

Bài 2: Giải các phương trình bậc hai sau:

a) ${\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}=0$

b) ${\mathrm{x}}^2+4=0$

c) ${\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6=0$

Lời giải:

a) ${\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}=0$

$\iff \mathrm{x}\left(\mathrm{x}-6\right)=0\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}-6=0\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=6\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {0; 6}.

b) ${\mathrm{x}}^2+4=0$

$\iff {\mathrm{x}}^2=-4$ (vô lí)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) ${\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6=0$

$\iff {\mathrm{x}}^2-2.\mathrm{x}.\frac{5}{2}+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+6=0\iff {\left(\mathrm{x}-\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}=0\iff {\left(\mathrm{x}-\frac{5}{2}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\frac{-1}{2}\right)}^2\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}\\ \mathrm{x}-\frac{5}{2}=\frac{-1}{2}\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\\ \mathrm{x}=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{x}=2\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm S = {2; 3}.