Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài giảng Toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Lý thuyết

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}$

Ví dụ 1:

$\begin{array}{l}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\end{array}$; $\begin{array}{l}4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}=1\end{array}$là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Nếu hai phương trình có nghiệm chung là (x₀; y₀) thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I).

+ Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (I) vô nghiệm.

+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}$

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình

$\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=0\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=0\end{array}$

Ta có: x – y = 0 $\Rightarrow \mathrm{y}=\mathrm{x}$(d)

x + y = 0 $\Rightarrow \mathrm{y}=-\mathrm{x}$ (d’)

Vẽ hai đường thẳng (d) và (d’) lên hệ trục tọa độ ta được:

Ta thấy (d) và (d’) cắt nhau tại O(0; 0) nên (0; 0) là nghiệm của hệ phương trình.

Chú ý: Với trường hợp $\mathrm{a}\text{'};\mathrm{b}\text{'};\mathrm{c}\text{'}\ne 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$.

3. Hệ phương trình tương đương

Định nghĩa: Hệ hai phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

Ta cũng dùng kí hiệu “$\iff$” để chỉ sự tương đương của hai phương trình.

II. Bài tập tự luyện

Bài 1: Không cần vẽ hình hãy cho biết số nghiệm của hệ phương trình sau và giải thích vì sao.

a) $\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\\ 4\mathrm{x}+6\mathrm{y}=7\end{array}$

b) $\begin{array}{l}2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}-2\mathrm{y}=1\end{array}$

c) $\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=8\\ 2\mathrm{x}+1,5\mathrm{y}=4\end{array}$

Lời giải:

a) $\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\\ 4\mathrm{x}+6\mathrm{y}=7\end{array}$

Ta có: a = 2; b = 3; c = 5 và a’ = 4; b’ = 6; c’ = 7

Xét $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};$ $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$; $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}=\frac{5}{7}$

Vì $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$ nên hệ đã cho vô nghiệm.

b) $\begin{array}{l}2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}-2\mathrm{y}=1\end{array}$

Ta có: a = 2; b = -3; c = 2 và a’ = 1; b’ = -2; c’ = 1

Xét $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{2}{1}=2;\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{-3}{-2}=1,5$

Vì $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c) $\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=8\\ 2\mathrm{x}+1,5\mathrm{y}=4\end{array}$

Ta có: a = 4; b = 3; c = 8 và a’ = 2; b’ = 1,5; c’ = 4

Xét $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{4}{2}=2;\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{3}{1,5}=2;\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}=\frac{8}{4}=2$

Vì $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 2: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

$\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=4\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=9\end{array}$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=4\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=9\end{array}$(I)

Xét hai đường thẳng d và đường thẳng d’ ứng với hai phương trình trong hệ

Ta kí hiệu đường thẳng d: y = x – 4 ứng với phương trình x – y = 4

Ta kí hiệu đường thẳng d’: y = 2x – 9 ứng với phương trình 2x – y = 9

Vẽ hai đường thẳng d và d’ lên hệ trục tọa độ ta được hình vẽ:

Từ đồ thị ta thấy d và d’ cắt nhau tại điểm A(5; 1) nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (5; 1)

Trắc nghiệm Toán lớp 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 1:

A. Vô số nghiệm

B. Vô nghiệm

C. Có nghiệm duy nhất

D. Có hai nghiệm phân biệt

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hệ phương trình

$\begin{array}{l}-2x+y=-3\\ 3x-2y=7\end{array}$

có $\frac{-2}{3}\ne \frac{1}{-2}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 2:

A. Vô số nghiệm

B. Vô nghiệm

C. Có nghiệm duy nhất

D. Có hai nghiệm phân biệt

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hệ phương trình

$\begin{array}{l}-x+5y=-1\\ 5x+y=2\end{array}$

có $\frac{-1}{5}\ne \frac{5}{1}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 3:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

$\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}$

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\iff \frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$

- Hệ phương trình vô nghiệm

$\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}\ne \frac{c}{c\text{'}}$

- Hệ phương trình có vô số nghiệm

$\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}$

Câu 4:

vô nghiệm

A. m = 1

B. m = −1

C. m = 0

D. $m=\frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Để hệ phương trình

$\begin{array}{l}x+y=-1\\ mx+y=2m\end{array}$vô nghiệm

thì $\frac{m}{1}=\frac{1}{1}\ne \frac{2m}{1}$

$\iff \begin{array}{l}m=1\\ m\ne \frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow m=1$

Câu 5:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hệ phương trình $\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}$có vô số nghiệm

khi d: ax + by = c và d’: a’x + b’y = c’

trùng nhau, suy ra hệ phương trình có vô số nghiệm

$\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}$

Câu 6:

A. m = 1

B. m = −1

C. m = 3

D. m = −3

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $\begin{array}{l}2x-y=4\\ (m-1)x+2y=m\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}y=2x-4\\ 2y=(1-m)x+m\end{array}\iff \begin{array}{l}y=2x-4\\ y=\frac{1-m}{2}x+\frac{m}{2}\end{array}$

Để hệ phương trình $\begin{array}{l}2x-y=4\\ (m-1)x+2y=m\end{array}$

vô nghiệm thì đường thẳng d: y = 2x – 4

song song với đường thẳng

d’:$y=\frac{1-m}{2}x+\frac{m}{2}$

suy ra:$\begin{array}{l}\frac{1-m}{2}=2\\ \frac{m}{2}\ne -4\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}1-m=4\\ m\ne -8\end{array}\iff \begin{array}{l}m=-3\\ m\ne -8\end{array}\iff m=-3$

Câu 7:

Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình nhận cặp số (−1; 3) làm nghiệm

A. m = 0

B. m = −2

C. m = −3

D. m = 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Để hệ phương trình $\begin{array}{l}(m+2)x+y=2m-8\\ m^{2}x+2y=-3\end{array}$

nhận cặp số (−1; 3) làm nghiệm thì

$\begin{array}{l}(m+2).(-1)+3=2m-8\\ m^2(-1)+2.3=-3\end{array}\iff \begin{array}{l}-m-2+3=2m-8\\ -m^2+6=-3\end{array}\iff \begin{array}{l}3m=9\\ m^2=9\end{array}\iff \begin{array}{l}m=3\\ \begin{array}{l}m=3\\ m=-3\end{array}\end{array}\iff m=3$

Vậy m = 3

Câu 8:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}$ (các hệ số khác 0)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$

- Hệ phương trình vô nghiệm$\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}\ne \frac{c}{c\text{'}}$

- Hệ phương trình có vô số nghiệm $\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}$

Câu 9:

$\begin{array}{l}\sqrt{2}x-2y=3\\ 3\sqrt{2}x-6y=5\end{array}$

A. Vô số nghiệm

B. Vô nghiệm

C. Có nghiệm duy nhất

D. Có hai nghiệm phân biệt

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Xét hệ phương trình $\begin{array}{l}\sqrt{2}x-2y=3\\ 3\sqrt{2}x-6y=5\end{array}$

có:

$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{-2}{-6}\ne \frac{3}{5}\iff \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\ne \frac{3}{5}$

nên hệ phương trình vô nghiệm

Câu 10:

A. (1; 2)

B. (8; −3)

C. (3; −8)

D. (3; 8)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

+) Với cặp số (1; 2) thì ta có

$\begin{array}{l}5.1+2=7\\ -1-3.2=21\end{array}\iff \begin{array}{l}7=7\\ -7=21\end{array}$

(vô lý) nên loại A

+) Với cặp số (8; −3) thì ta có

$\begin{array}{l}5.8+(-3)=7\\ -8-3.(-3)=21\end{array}\iff \begin{array}{l}37=7\\ 1=21\end{array}$

(vô lý) nên loại B

+) Với cặp số (3; 8) thì ta có

$\begin{array}{l}5.3+8=7\\ -3-3.8=21\end{array}\iff \begin{array}{l}23=7\\ -27=21\end{array}$

(vô lý) nên loại D

+) Với cặp số (3; −8) thì ta có

$\begin{array}{l}5.3+(-8)=7\\ -3-3.(-8)=21\end{array}\iff \begin{array}{l}7=7\\ 21=21\end{array}$

(luôn đúng) nên chọn C