Lý thuyết Độ dài đường tròn, cung tròn (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn

Bài giảng Toán 9 Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn

A. Lý thuyết

1. Công thức tính độ dài đường tròn

“Độ dài đường tròn” hay còn được gọi là “chu vi đường tròn” được kí hiệu là C.

Công thức tính chu vi hình tròn: C = 2πR hoặc C = πd.

Trong đó: C là độ dài đường tròn;

R là bán kính đường tròn;

d là đường kính của đường tròn;

π (đọc là “pi”) là kí hiệu của một số vô tỉ mà giá trị gần đúng thường được lấy là π ≈ 3,14.

Ví dụ 1. Cho đường tròn có bán kính 5 cm. Tính độ dài đường tròn đó?

Lời giải:

Độ dài đường tròn là:

C = 2πR = 2π . 5 = 10π (cm).

Vậy đường tròn có bán kính R = 5 cm có độ dài đường tròn là 10π cm.

2. Công thức tính độ dài cung tròn

Ví dụ 2. Cho đường tròn có bán kính 4cm. Tính độ dài cung tròn 120^o.

Lời giải:

Độ dài cung tròn 120^o là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}$$=\frac{\pi .4.120}{180}=\frac{8}{3}\pi$ (cm)

Vậy độ dài cung tròn 120^o của đường tròn (O; 4cm) là $\frac{8}{3}\pi$ cm.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường tròn (O) bán kính OA. Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC vuông góc OA. Biết độ dài đường tròn (O) là 4π (cm). Tính:

a) Bán kính đường tròn (O).

b) Độ dài hai cung BC của đường tròn.

Lời giải:

a) Độ dài bán kính đường tròn (O) là:

b) Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆BOM vuông tại M, ta có:

BM² + OM² = OB²

∆BOM vuông tại M nên $\sin \widehat{BOM}=\frac{BM}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$= 60^o.

∆OBC cân tại O (vì OB = OC) có OM là đường cao nên OM cũng là đường phân giác.

Suy ra $\widehat{BOC}=2\widehat{BOM}=$$2.{60}^o={120}^o$

Đặt cung lớn BC là $\stackrel{⏜}{BmC}$.

Số đo của cung lớn BC là:

Vậy độ dài cung nhỏ và cung lớn BC lần lượt là

Bài 2. Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm, $\widehat{A}={120}^o$. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Lời giải:

Ta có AB = AC nên A là điểm nằm chính giữa cung BC.

Suy ra:

$AO\perp BC\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{HAC}={60}^o$

Do đó ∆ABH là nửa tam giác đều.

Nên AB = BO = 3 (cm).

Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: C = 2πR = 6π (cm).

Bài 3. Một tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi là 72 cm. Hỏi độ dài đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?

Lời giải:

* Xét tam giác ABC đều ngoại tiếp đường tròn (O) có chu vi 72 cm.

Kẻ AH là đường trung trực của ∆ABC tại H.

Độ dài cạnh của tam giác đều: 72 : 3 = 24 (cm)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABH vuông tại H, ta có:

AH² + BH² = AB²

Đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC nên AH là đường trung trực của ∆ABC.

Mà ∆ABC đều nên AH cũng là đường trung tuyến.

Suy ra O cũng là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó OA = $\frac{2}{3}$AH =$\frac{2}{3}.12\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ = R.

Do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:

C = 2πR = $16\sqrt{3}$π (cm).

* Xét hình vuông MNPQ ngoại tiếp đường tròn (O’) có chu vi 72 cm.

Nối N với Q.

Độ dài các cạnh của hình vuông là: 72 : 4 = 18 (cm).

Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆NPQ vuông tại P, ta có:

NP² + PQ² = NQ²

Do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp hình vuông là:

Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đều lớn hơn đường tròn ngoại tiếp hình vuông và lớn hơn: