Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai(A^2)= |A| (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thu

A. Lý thuyết

1. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay còn gọi là biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt{A}$ xác định(có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Ví dụ 1. $\sqrt{5x}$là căn thức bậc hai của 5x;

$\sqrt{5x}$xác định khi 5x ≥ 0, tức là khi x ≥ 0.

2. Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left.A\right|$

Định lí. Với mọi số a, ta có $\sqrt{a^2}=\left.a\right|$.

Ví dụ 2.Tính

a) $\sqrt{{14}^2}$;

b) $\sqrt{{(-20)}^2}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{{14}^2}=\left.14\right|=14$.

b) $\sqrt{{(-20)}^2}=\left.-20\right|=20$.

Chú ý. Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có $\sqrt{A^2}=\left.A\right|$, có nghĩa là:

$\sqrt{A^2}=A$nếu A ≥ 0 (tức là A lấy giá trị không âm);

$\sqrt{A^2}=-A$nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm).

Ví dụ 3.Rút gọn

a) $\sqrt{{(x-4)}^2}$với x < 4;

b) $\sqrt{a^6}$với a ≥ 0.

Lời giải:

a) $\sqrt{{(x-4)}^2}=\left.x-4\right|=4-x$(vì x < 4);

b) $\sqrt{a^6}=\sqrt{{\left(a^3\right)}^2}=\left|a^3\right|$.

Vì a ≥ 0 nên a³ ≥ 0, do đó | a³ | = a³.

Vậy $\sqrt{a^6}=a^3$(với a ≥ 0).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1.Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{\frac{a}{4}}$;

b) $\sqrt{-3a}$;

c) $\sqrt{2a+9}$.

Lời giải:

a)Điều kiện xác định: $\frac{a}{4}\ge 0\iff a\ge 0$.

Vậy với a ≥ 0 thì $\sqrt{\frac{a}{4}}$có nghĩa.

b) Điều kiện xác định: − 3a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0.

Vậy với a ≤ 0 thì $\sqrt{-3a}$có nghĩa.

c) Điều kiện xác định: 2a + 9 ≥ 0 $\iff a\ge \frac{-9}{2}$.

Vậy với $a\ge \frac{-9}{2}$thì $\sqrt{2a+9}$có nghĩa.

Bài 2.Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}$;

b) $3\sqrt{a^2}$với a ≥ 0;

c) $5\sqrt{{(a-3)}^2}$với a < 3.

Lời giải:

a) $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}=\left.3-\sqrt{6}\right|=3-\sqrt{6}$.

Ta có $3=\sqrt{9}$mà $\sqrt{9}>\sqrt{6}$nên $3-\sqrt{6}>0$.

Do đó $\left.3-\sqrt{6}\right|=3-\sqrt{6}$.

Vậy $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}=3-\sqrt{6}$.

b) $3\sqrt{a^2}=3\left.a\right|$.

Vì a ≥ 0 nên 3|a| = 3a.

Vậy $3\sqrt{a^2}=3a$.

c) $5\sqrt{{(a-3)}^2}=5\left.a-3\right|$.

Vì a < 3 nên a – 3 < 0.

Do đó 5|a – 3| = 5(3 – a) = 15 – 5a.

Vậy $5\sqrt{{(a-3)}^2}=15-5a$.

Bài 3. Tìm x, biết:

a) $\sqrt{x^2}=15$;

b) $\sqrt{9x^2}=12$;

c) $\sqrt{16x^2}=|-20|$.

Lời giải:

a) $\sqrt{x^2}=15$

$\iff$|x| = 15

$\iff$x = ±15.

Vậy x = ± 15.

b) $\sqrt{9x^2}=12$

$\iff \sqrt{{\left(3x\right)}^2}=12$

$\iff$|3x| = 12

$\iff$3x =± 12

$\iff$x =± 4.

Vậy x =± 4.

d) $\sqrt{16x^2}=|-20|$

$\iff \sqrt{{\left(4x\right)}^2}=20$

$\iff$|4x| = 20

$\iff$4x = ± 20

$\iff$x = ± 5.

Vậy x = ± 5.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Câu 1:

A. 2

B. $\sqrt{6}$

C. 6

D. 12

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 2:

$\sqrt{19+8\sqrt{3}}$ +$\sqrt{19-8\sqrt{3}}$

A. 2$\sqrt{3}$

B. 8 + 2$\sqrt{3}$

C. 6

D. 8

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 3:

A. −9a

B. −3a

C. 3a

D. 9a

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 4:

A. x < $\frac{1}{3}$

B. x $\le \frac{1}{3}$

C.x $\ge \frac{1}{3}$

D. x > $\frac{1}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 5:

A. −9a

B. −3a

C. 3a

D. 9a

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 6:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 7:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 8:

$\sqrt{2x^2+2}$= 3x – 1 là:

A. x = 2

B. x = 5

C. x = 1

D. x = 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 9:

$\sqrt{a^2+8a+16}$ +$\sqrt{a^2-8a+16}$

A. 2a

B. 8

C. −8

D. −2a

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 10:

A. x$\le$15

B. x$\ge$25

C. x$\le$25

D. x$\ge$0

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\sqrt{125-5x}$ có nghĩa là 125 -5x$\ge$0

$\iff 5x\le 125\iff x\le 25$