Lý thuyết Hình nón – Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Hình nón – Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Bài giảng Toán 9 Bài 2: Hình nón – Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

A. Lý thuyết

1. Hình nón

Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh OA cố định thì được một hình nón.

- Điểm A được gọi đỉnh của hình nón.

- Hình tròn (O) được gọi là đáy của hình nón.

- Mỗi vị trí của AC được gọi là một đường sinh của hình nón.

- Đoạn AO được gọi là đường cao của hình nón.

2. Diện tích và thể tích của hình nón

Đặt AC = l; l là đường sinh.

Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l, chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: S_xq = πRl.

- Diện tích toàn phần: S_tp = πRl + πR².

- Thể tích: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$.

Ví dụ 1. Một hình nón có đường cao bằng 24 cm và thể tích bằng 800π cm3. Tính diện tích toàn phần của hình nón này.

Lời giải:

Gọi R là bán kính và h là chiều cao của hình nón.

Do đó bán kính của hình nón là 10 cm.

Đường sinh của hình nón là:

$S{B}^2=\sqrt{S{O}^2+O{B}^2}$$=\sqrt{{24}^2+{10}^2}=26\left(cm\right)$

Diện tích toàn phần của hình nón là:

Stp = πR(l + R) = π . 10 (26 + 10) = 360π (cm²).

3. Hình nón cụt

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt phẳng đáy được gọi là một hình nón cụt.

- Hai hình tròn (O) và (O') được gọi là hai đáy.

- Đoạn OO' được gọi là trục. Độ dài OO' là chiều cao.

- Đoạn AC được gọi là đường sinh.

4. Diện tích và thể tích hình nón cụt

Cho hình nón cụt có các bán kính đáy R và r, chiều cao h, đường sinh l.

- Diện tích xung quanh: S_xq = π (R + r) l.

- Thể tích: $V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$.

Ví dụ 2. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 9 cm và chiều cao SO = 21,6 cm. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy tạo ra một hình nón cụt có chiều cao 12 cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt.

Lời giải:

Xét mặt cắt qua trục của hình nón là ∆SAB cân tại S.

Trong mặt phẳng SAB có O’C // OB.

Theo định lý Ta – lét ta có $\frac{O\text{'}C}{OB}=\frac{SO\text{'}}{SO}$.

Do đó $\frac{O\text{'}C}{9}=\frac{9,6}{21,6}\Rightarrow$ O’C = 4 (cm).

Trong mặt phẳng SAB vẽ $CH\perp AB$, ta được:

CH = OO’ = 12 cm, BH = 9 – 4 = 5 (cm).

Suy ra BC = $\sqrt{B{H}^2+C{H}^2}$$=\sqrt{{12}^2+5^2}=13$ (cm)

Diện tích xung quanh của hình nón cụt là:

Sxq = π(R₁ + R₂)l = π(9 + 4) . 13 = 169π (cm²)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón cụt là 169π cm².

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Mặt cắt chứa trục của một hình nón là một tam giác đều có diện tích $9\sqrt{3}$cm². Tính thể tích của hình nón đó.

Lời giải:

Gọi mặt cắt là tam giác đều ABC, đáy của hình nón có tâm là O.

Ta đặt AB = AC = BC = a thì bán kính đáy hình nón là $R=\frac{a}{2}$ và chiều cao của hình nón là $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì diện tích của tam giác đều là $9\sqrt{3}$ cm² nên ta có:

Do đó bán kính đáy là R = 3 cm và chiều cao hình nón là:

$h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$(cm)

Thể tích của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$$=\frac{1}{3}\pi .3^2.3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\pi$ (cm³)

Vậy thể tích của hình nón là: $9\sqrt{3}$ cm³.

Bài 2. Một hình nón cụt có các bán kính đáy là 21 cm và 49 cm. Biết diện tích xung quanh của nó là 3710π cm². Tính thể tích của hình nón cụt.

Lời giải:

Gọi mặt cắt chứa trục của hình nón cụt là hình thang cân ABCD.

Trong mặt phẳng này vẽ $BH\perp CD$.

Ta đặt O’B= R₁, OC = R₂, OO’ = h và BC = 1.

Ta có: BH = OO’ = h; HC = R₂ – R₁ = 49 – 21 = 28 (cm).

Vì diện tích xung quanh của hình nón cụt là 3710π cm² nên:

π(R₁ +R₂)l = 3710π

Suy ra: $l=\frac{3710\pi }{\pi (21+49)}=53$ (cm)

Xét ∆BHC vuông tại H, ta có:

$BH=\sqrt{B{C}^2-H{C}^2}$$=\sqrt{{53}^2-{28}^2}=45\left(cm\right)$

Thể tích của hình nón cụt là:

$V=\frac{1}{3}\pi h(R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2)=\frac{1}{3}\pi .45({21}^2+{49}^2+21.49)=58065\pi \left(c{m}^3\right)$

Vậy thể tích của hình nón cụt là 58 065π cm³.

Bài 3. Một chao đèn có dạng mặt xung quanh của một hình nón cụt. Các bán kính đáy lần lượt là R1 = 5 cm, R2 = 13 cm. Biết diện tích xung quanh của chao đèn là 306π cm². Tính chiều cao của chao đèn.

Lời giải:

Gọi mặt cắt chứa trục của chao đèn là hình thang cân ABCD.

Chiều cao OO’ = h và đường sinh BC = l.

Vì diện tích xung quanh của chao đèn là 306π cm² nên ta có:

π(R₁ + R₂)l = 306 π

$\Rightarrow$ π(5 + 13)l = 306 π

$\Rightarrow$ l = 17 (cm)

Trong mặt phẳng ABCD ta vẽ $BH\perp CD$.

Ta có BH = OO’ = h; OH = O’B = R₁.

Do đó HC = R₂ – R₁ = 8 (cm).

Xét ∆BHC vuông tại H, ta có:

$BH=\sqrt{B{C}^2-H{C}^2}$$=\sqrt{{17}^2-8^2}=15$ (cm)

Vậy chiều cao của chao đèn là 15 cm.