Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài giảng Toán 9 Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Lý thuyết

1. Khái niệm về phương trình bậc nhất hai ẩn

- Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng

ax + by = c (1)

trong đó a, b, c là các số đã biết (a hoặc b )

Ví dụ 1:

2x + 3y = 5

4x + 6y = 7

-2x – 3y = 4

Các phương trình trên là những ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn. Hai ẩn ở đây là x và y.

- Trong phương trình (1), nếu giá trị của vế trái tại x = x₀ và y = y₀ bằng vế phải thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình.

Ta cũng viết: Phương trình (1) có nghiệm là (x; y) = (x₀; y₀).

Chú ý:

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x₀; y₀) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x₀; y₀).

- Khái niệm tập nghiệm và khái niệm phương trình tương đương của phương trình bậc nhất hai ẩn cũng tương tự như đối với phương trình bậc nhất một ẩn. Ngoài ra ta cũng có thể áp dụng quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân đã học để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.

2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biêu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là (d).

- Nếu và thì đường thẳng (d) chính là đồ thị của hàm số bậc nhất

y = $-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}x+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}$

- Nếu a và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$, và đường thẳng (d) song song với trục tung hoặc trùng với trục tung.

- Nếu a = 0 và b thì phương trình trở thành by = c hay $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}$, và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành.

Nói cách khác, ta có công thức nghiệm tổng quát như sau:

- Nếu $\mathrm{a}\ne 0$ và $\mathrm{b}\ne 0$ thì công thức nghiệm là:

$\begin{array}{l}\mathrm{x}\in \mathrm{R}\\ \mathrm{y}=\frac{\mathrm{c}-\mathrm{ax}}{\mathrm{b}}\end{array}$hoặc $\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{c}-\mathrm{by}}{\mathrm{a}}\\ \mathrm{y}\in \mathrm{R}\end{array}$

Khi đó (d) cắt cả hai trục Ox; Oy

Ví dụ 2: x – y = 1 có $\mathrm{a}\ne 0$ và $\mathrm{b}\ne 0$, khi đó công thức nghiệm là:

$\begin{array}{l}\mathrm{x}\in \mathrm{R}\\ \mathrm{y}=\mathrm{x}-1\end{array}$ hoặc $\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{y}+1\\ \mathrm{y}\in \mathrm{R}\end{array}$

- Nếu a = 0 và $\mathrm{b}\ne 0$ thì công thức nghiệm là:

$\begin{array}{l}\mathrm{x}\in \mathrm{R}\\ \mathrm{y}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\end{array}$và (d) // Ox

Ví dụ 3: Phương trình 0x + y = 5 có a = 0 và $\mathrm{b}\ne 0$, khi đó công thức nghiệm là:

$\begin{array}{l}\mathrm{x}\in \mathrm{R}\\ \mathrm{y}=5\end{array}$

- Nếu $\mathrm{a}\ne 0$ và b = 0 thì công thức nghiệm là:

$\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\\ \mathrm{y}\in \mathrm{R}\end{array}$và (d) // Oy

Ví dụ 4: Phương trình 2x + 0y = 3 có $\mathrm{a}\ne 0$ và b = 0, khi đó công thức nghiệm là:

$\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\\ \mathrm{y}\in \mathrm{R}\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{3}{2}\\ \mathrm{y}\in \mathrm{R}\end{array}$

II. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm hai nghiệm của phương trình: 3x – 2y = 4

Lời giải:

+ Cho x = 0 $\Rightarrow 0-2\mathrm{y}=4$

$\iff -2\mathrm{y}=4\iff \mathrm{y}=4:\left(-2\right)\iff \mathrm{y}=-2$

$\Rightarrow \left(0;-2\right)$ là một nghiệm của phương trình.

+ Cho x = 2 $\Rightarrow 3.2-2.\mathrm{y}=4$

$\iff 6-2y=4\iff 2y=6-4\iff 2y=2\iff y=1$

$\Rightarrow$(2; 1) là một nghiệm của phương trình.

Bài 2: Trong các cặp số (0; 2); (3; 5); (1; 4) cặp số nào là nghiệm của phương trình 2x + y = 6.

Lời giải:

+ Ta có: 2.0 + y = 2 $\ne 6\Rightarrow$(0; 2) không phải là cặp nghiệm của phương trình.

+ Ta có: 2.3 + 5 = 6 + 5 = 11 $\ne 6\Rightarrow$(3; 5) không phải là cặp nghiệm của phương trình.

+ Ta có: 2.1 + 4 = 6$\Rightarrow$(1; 4) là cặp nghiệm của phương trình.

Bài 3: Tìm m để cặp số (2; 3) là nghiệm của phương trình x – 3y = m + 2

Lời giải:

Thay x = 2; y = 3 vào phương trình ta được:

2 – 3.3 = m + 2

$\iff 2-9=\mathrm{m}+2\iff \mathrm{m}=2-9-2\iff \mathrm{m}=-9$

Vậy m = -9 thì cặp số (2; 3) là nghiệm của phương trình x – 3y = m + 2.

Trắc nghiệm Toán lớp 9 Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 1:

A. x + y = 2

B. 2x + y = 1

C. x – 2y = 1

D. 5x + 2y + 12 = 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 2:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Để d đi qua gốc tọa độ thì

(m – 2)0 + (3m – 1)0 = 6m – 2

$\iff m=\frac{1}{3}$

Vậy $m=\frac{1}{3}$

Câu 3:

A. Phương trình đã cho luôn có vô số nghiệm

B. Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng d: ax + by = c

C. Tập nghiệm của phương trình là $S=\left.\left(x;\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}\right)|x\in ℝ\right\}$

D. Cả A, B, C đều đúng

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng d: ax + by = x

Ta có với a$\ne$0; b$\ne$0 thì ax + by = c

$\iff$by = −ax + c

Nghiệm của phương trình là $S=\left.\left(x;\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}\right)|x\in ℝ\right\}$

Vậy cả A, B, C đều đúng

Câu 4:

A. x – 2y = 0

B. 2x + y = 0

C. x – y = 2

D. x + 2y + 1 = 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Thay x = −2; y = 4 vào từng phương trình ta được:

+) x – 2y = −2 – 2.4 = −10$\ne$0 nên loại A

+) x – y = −2 – 4 = −6 0 nên loại C

+) x + 2y + 1 = −2 + 2.4 + 1 = 7$\ne$0 nên loại D

+) 2x + y = −2.2 + 4 = 0 nên B

Câu 5:

A. (−7; −14)

B. (−1; −2)

C. (−3; −4)

D. (−5; −9)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có −5x + 2y = 7

$\iff$2y = 7 + 5x

$\iff y=\frac{5x+7}{2}$

$\iff$y = 2x + $\frac{x+7}{2}$

Đặt $\frac{x+7}{2}$= t

$\Rightarrow$x = 2t − 7$\Rightarrow$y = 2.(2t − 7) + t

$\iff$y = 5t – 14 $\left(t\in \mathbb{Z}\right)$

Nên nghiệm nguyên của phương trình là

$\begin{array}{l}x=2t-7\\ y=5t-14\end{array}\left(t\in \mathbb{Z}\right)$

Vì x, y nguyên âm nên

$\begin{array}{l}x<0\\ y<0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}2t-7<0\\ 5t-14<0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}t<\frac{7}{1}\\ t<\frac{14}{5}\end{array}\Rightarrow t<\frac{14}{5}$

mà $t\in \mathbb{Z}\Rightarrow t\le 2$

Vậy nghiệm cần tìm là (−3; −4)

Câu 6:

A. 4x + 0y – 6 = 0

B. $\sqrt{x}$+ x – 1 = 0

C. x² +$\frac{y}{2}$ = 0

D. x³ + 1 = 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình 4x + 0y – 6 = 0 là phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 7:

A. 2x² + 2 = 0

B. 3y – 1 = 5(y – 2)

C. 2x + − 1 = 0

D. 3$\sqrt{x}$ + y² = 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Phương trình 2x + $\frac{y}{2}$ − 1 = 0 là phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 8:

A. m = 1

B. $m\ne \frac{1}{2}$

C. m = 2

D. $m=\frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Để d song song với trục tung thì

$\begin{array}{l}\frac{m-1}{2}\ne 0\\ 1-2m=0\\ 2\ne 0\end{array}\iff \begin{array}{l}m\ne 1\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\iff m=\frac{1}{2}$

Vậy $m=\frac{1}{2}$

Câu 9:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có với a$\ne$0; b$\ne$0 thì ax + by = c

$\iff$ by = −ax + c

Nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi

$\begin{array}{l}x\in R\\ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}\end{array}$

Câu 10:

A. (0; 1)

B. (−1; 2)

C. (3; 2)

D. (2; 4)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

+) Thay x = 0; y = 1 vào

phương trình x – 5y + 7 = 0 ta được

0 −5.1 + 7 = 0 $\iff$ 2 = 0 (vô lý) nên loại A

+) Thay x = −1; y = 2 vào

phương trình x – 5y + 7 = 0 ta được

−1 – 5.2 + 7 = 0 −4 = 0 (vô lý) nên loại B

+) Thay x = 2; y = 4 vào

phương trình x – 5y + 7 = 0 ta được

2 – 5.4 + 7 = 0 $\iff$−11 = 0 (vô lý) nên loại D

+) Thay x = 3; y = 2 vào

phương trình x – 5y + 7 = 0 ta được

3 – 5.2 + 7 = 0 (luôn đúng) nên chọn C