Lý thuyết Căn bậc hai (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai

a. Khái niệm: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x² = a.

Ví dụ 1. Số 16 là số không âm, căn bậc hai của 16 là số x sao cho x² = 16.

Do đó căn bậc hai của 16 là 4 và −4.

b. Tính chất:

- Số âm không có căn bậc hai.

- Số 0 có đúng một căn bậc hai đó chính là số 0, ta viết $\sqrt{0}=0$.

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau; số dương ký hiệu là $\sqrt{a}$, số âm ký hiệu là $-\sqrt{a}$.

Ví dụ 2.

- Số −12 là số âm nên không có căn bậc hai.

- Số 64 có hai căn bậc hai là 8 và −8.

- Số 15 có hai căn bậc hai là $\sqrt{15}$và $-\sqrt{15}$.

2. Căn bậc hai số học

a. Định nghĩa: Với số dương a, số $\sqrt{a}$được gọi là căn bậc hai số học của a.Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Ví dụ 3. Căn bậc hai số học của 36 là $\sqrt{36}$(= 4).

- Căn bậc hai số học của 7 là $\sqrt{7}$.

Chú ý. Với a ≥ 0, ta có:

Nếu $x=\sqrt{a}$thì x ≥ 0 và x² = a;

Nếu x ≥ 0 và x² = a thì $x=\sqrt{a}$.

- Ta viết $x=\sqrt{a}\iff \begin{array}{l}x\ge \mathrm{0,}\\ x^2=a.\end{array}$

Ví dụ 4. Tìm căn bậc hai số học của các số sau đây: 25; 81; 225; 324.

Lời giải:

Ta có:

• $\sqrt{25}=5$ vì 5 > 0 và 5² = 25;

• $\sqrt{81}=9$ vì 9 > 0 và 9² = 81;

• $\sqrt{225}=15$ vì 15 > 0 và 15² = 225;

• $\sqrt{324}=18$ vì 18 > 0 và 18² = 324.

b. Phép khai phương:

- Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm (gọi tắt là khai phương).

- Khi biết một căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai của nó.

Ví dụ 5.

- Căn bậc hai số học của 9 là 3 nên 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3.

- Căn bậc hai số học cuả 256 là 16 nên 256 có hai căn bậc hai là 16 và −16.

3. So sánh các căn bậc hai số học

Định lí.Với hai số a và b không âm, ta có: $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Ví dụ 6. So sánh:

a) 3 và $\sqrt{11}$;

b) 5 và $\sqrt{15}$.

Lời giải:

a) Vì 9 < 11 nên $\sqrt{9}<\sqrt{11}$.

Vậy $3<\sqrt{11}$.

b) Vì 25 > 15 nên $\sqrt{25}>\sqrt{15}$.

Vậy $5>\sqrt{15}$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1.Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

25; 196; 289; 484.

Lời giải:

- Căn bậc hai số học của 25 là 5 nên 25 có hai căn bậc hai là 5 và −5;

- Căn bậc hai số học cuả 196 là 14 nên 196 có hai căn bậc hai là 14 và −14;

- Căn bậc hai số học của 289 là 17 nên 289 có hai căn bậc hai là 17 và −17;

- Căn bậc hai số học cuả 484 là 22 nên 484 có hai căn bậc hai là 22 và −22.

Bài 2. So sánh:

a) 4 và $\sqrt{26}$;

b) 8 và $\sqrt{31}$.

Lời giải:

a) Vì 16 < 26 nên $\sqrt{16}<\sqrt{26}$.

Vậy $4<\sqrt{26}$.

b) Vì 64 > 31 nên $\sqrt{64}>\sqrt{31}$.

Vậy $8>\sqrt{31}$.

Bài 3. Tìm số x không âm, biết:

a) $\sqrt{x}=18$;

b) $3\sqrt{x}=24$;

c) $\sqrt{x}<\sqrt{5}$;

d) $\sqrt{2x}<6$.

Lời giải:

a) $\sqrt{x}=18$

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:

x = 18²

$\iff$x = 324.

Vậy x = 324.

b) $3\sqrt{x}=24$

$\iff \sqrt{x}=8$

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:

x = 8²

$\iff$x = 64.

Vậy x = 64.

c) $\sqrt{x}<\sqrt{5}$

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 5.

Vậy 0 ≤ x < 5.

d) $\sqrt{2x}<6$

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:

2x < 36

$\iff$x < 18.

Vậy 0 ≤ x < 18.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai

Câu 1:

Căn bậc hai số học của a là x khi và chỉ khi

A. $x=\sqrt{a}$

B. $\sqrt{x}=a$

C. $a^2=x$ và $x\ge 0$

D. $x^2=a$ và $x\ge 0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Với số dương a, số x được gọi là căn bậc hai số học của a khi và chỉ khi:

Câu 2:

A. – 1,5 và 1,5

B. 1,25

C. 1,5

D. – 1,5

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Căn bậc hai số học của a = 2,25 là $\sqrt{2,25}=1,5$

Câu 3:

A. $0\le x<20$

B. x < 20

C. x > 0

D. x < 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 4:

A. $\sqrt{A^2}=A$ khi $A\ge 0$

B. $\sqrt{A^2}=-A$ khi A < 0

C. $\sqrt{A}<\sqrt{B}\iff 0\le A<B$

D. A > B $\iff 0\le A<B$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 5:

Số nào sau dây là căn bậc hai số học của a?

A. $\sqrt{a}$

B. - $\sqrt{a}$

C. $\sqrt{2a}$

D. 2 $\sqrt{a}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 6:

A. – 0,6

B. 0,6

C. 0,9

D. – 0,18

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Căn bậc hai số học của a = 0,36 là $\sqrt{0,36}=0,6$

Câu 7:

A. $\sqrt{A^2}=A$ khi A < 0

B. $\sqrt{A^2}=A$ khi $A\ge 0$

C. $\sqrt{A}<\sqrt{B}\iff 0\le A<B$

D. A > B $\iff \sqrt{A}<\sqrt{B}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 8:

A. $2\ge 1+\sqrt{2}$

B. 2 = 1 + $\sqrt{2}$

C. 2 < 1 + $\sqrt{2}$

D. Không thể so sánh

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 9:

A. $x=\frac{25}{2}$

B. x = 125

C. x $=\frac{625}{2}$

D. x = 25

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 10:

A. x < 3

B. x < 0

C. $x\ge 0$

D. $x\ge 3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích: