Lý thuyết Công thức nghiệm thu gọn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài giảng Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

I. Lý thuyết

1. Công thức nghiệm thu gọn

a) Biệt thức $∆\text{'}$

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’ ta có biệt thức như sau:

$∆\text{'}$= $\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}$

Ta sửa dụng biết thức $∆\text{'}$để giải phương trình bậc hai.

b) Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có b = 2b’ và biệt thức $∆\text{'}$= b’² - ac

+ Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}};{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xác định có hệ số a, b, b’, c rồi tính biệt thức $∆\text{'}$của các phương trình sau:

a) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-3=0$

b) $2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+6=0$

c) $4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1=0$

Lời giải:

a) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-3=0$

Có a = 1; b = 6; b’ = 3; c = -3

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}=3^2-1.\left(-3\right)=12$

b) $2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+6=0$

Có a = 2; b = 2; b’ = 1; c = 6

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}=1^2-2.6=1-12=-11$

c) $4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1=0$

Có a = 4; b = 4; b’ = 2; c = 1.

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}=2-4.1=4-4=0$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $3{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}-5=0$

b) $2{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{a}+7=0$

Lời giải:

a) $3{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}-5=0$

Ta có: a = 3; b = 8; b’ = 4; c = -5

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}=4^2-3.\left(-5\right)=16+15=31>0$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}}=\frac{-4+\sqrt{31}}{3}$;

${\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}\text{'}-\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}}=\frac{-4-\sqrt{31}}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\mathrm{S}=\left.\frac{-4+\sqrt{31}}{3};\frac{-4-\sqrt{31}}{3}\right\}$

b) $2{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{a}+7=0$

Ta có: a = 2; b = 4; b’ = 2; c = 7

$∆=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}=2^2-2.7=4-14=-10<0$

Phương trình vô nghiệm.

Bài 3: Cho phương trình ${\mathrm{x}}^2+2\left(\mathrm{m}+3\right)\mathrm{x}+{\mathrm{m}}^2-3\mathrm{m}=0$

a) Tính $∆\text{'}$

b) Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm? Vô số nghiệm? Có nghiệm kép?

Lời giải:

a) Ta có: a = 1; b = 2(m + 3); b’ = m + 3; c = m² – 3m

$\mathrm{∆\text{'}=}{\left(\mathrm{m}+3\right)}^2-1.\left({\mathrm{m}}^2-3\mathrm{m}\right)={\mathrm{m}}^2+6\mathrm{m}+9-{\mathrm{m}}^2+3\mathrm{m}=9\mathrm{m}+9$

b) Ta có a = 1$\ne 0$

+ Để phương trình vô nghiệm thì:

$∆\text{'}<0\Rightarrow 9\mathrm{m}+9<0\iff 9\mathrm{m}<-9\iff \mathrm{m}<-1$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

$∆\text{'}>0\Rightarrow 9\mathrm{m}+9>0\iff 9\mathrm{m}>-9\iff \mathrm{m}>-1$

+ Để phương trình nghiệm kép thì:

$∆\text{'}=0\iff 9\mathrm{m}+9=0\iff 9\mathrm{m}=-9\iff \mathrm{m}=-1$