Lý thuyết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương.

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai của một thương

Định lí. Với số a không âm và số b dương, ta có: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}$;

b) $\sqrt{\frac{144}{25}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}}=\frac{12}{5}$;

b) $\sqrt{\frac{64}{121}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{121}}=\frac{8}{11}$.

2. Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$, trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương của các số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(vớia\ge 0,b>0).$

Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}$;

b) $\sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{144}}=\frac{7}{12}$;

b)

$\sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}=\sqrt{\frac{25}{64}}:\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{5}{8}:\frac{7}{4}=\frac{5}{14}$

3. Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia hai căn bậc hai của số a không âm và số b dương, ta có thể lấy số a chia cho số b rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$(với a ≥ 0, b > 0).

Ví dụ 3. Tính:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$;

b) $\sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}$.

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.

b)

$\sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{27}{4}}:\sqrt{\frac{25}{12}}=\sqrt{\frac{27}{4}:\frac{25}{12}}$

$=\sqrt{\frac{27}{4}.\frac{12}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$

Chú ý. Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$.

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{\frac{9a^2}{64}}$;

b) $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}$với a > 0.

Lời giải:

a)

$\sqrt{\frac{9a^2}{64}}=\frac{\sqrt{9a^2}}{\sqrt{64}}=\frac{\sqrt{9}.\sqrt{a^2}}{\sqrt{64}}=\frac{3}{8}\left|a\right|$

b) $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}=\sqrt{\frac{63a}{7a}}=\sqrt{9}=3$với a > 0.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính:

a) $\sqrt{\frac{121}{256}}$;

b) $\sqrt{1\frac{15}{49}}$;

c) $\sqrt{\frac{\mathrm{4,9}}{\mathrm{16,9}}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{121}{256}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{256}}=\frac{11}{16}$.

b) $\sqrt{1\frac{15}{49}}=\sqrt{\frac{64}{49}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}}=\frac{8}{7}$;

c)

$\sqrt{\frac{\mathrm{4,9}}{\mathrm{16,9}}}=\sqrt{\frac{49}{169}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}=\frac{7}{13}$

Bài 2. Tính:

a) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}$;

b) $\frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}$;

c) $\frac{\sqrt{{24}^7}}{\sqrt{3^5.8^7}}$.

Lời giải:

a)

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}=\sqrt{\frac{3}{48}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$

b)

$\frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{245}{5}}=\sqrt{49}=7$

c)

$\frac{\sqrt{{24}^7}}{\sqrt{3^5.8^7}}=\sqrt{\frac{{24}^7}{3^5.8^7}}=\sqrt{\frac{3^7.8^7}{3^5.8^7}}$

$=\sqrt{\frac{3^7}{3^5}}=\sqrt{3^2}=3$

Bài 3. Rút gọn biểu thức:

a) $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}$với x < 0, y ≠ 0;

b) $3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}$với y > 0;

c) $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}$với x > 0, y ≠ 0.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}=\frac{x}{y}.\frac{\sqrt{9x^2}}{\sqrt{y^4}}$

$=\frac{x}{y}.\frac{\sqrt{9}.\sqrt{x^2}}{\sqrt{{\left(y^2\right)}^2}}=\frac{x}{y}.\frac{3\left|x\right|}{\left|y^2\right|}$

Vì x < 0 nên |x| = − x.

Vì y ≠ 0 nên y² > 0. Suy ra | y² | = y².

Do đó

$\frac{x}{y}.\frac{3\left|x\right|}{\left|y^2\right|}=\frac{x}{y}.\frac{3.(-x)}{y^2}=\frac{-3x^2}{y^3}$

Vậy $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}=\frac{-3x^2}{y^3}$với x < 0, y ≠ 0.

b)

$3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}=3xy.\frac{\sqrt{36x^4}}{\sqrt{y^2}}=3xy.\frac{\sqrt{6^2.{\left(x^2\right)}^2}}{\sqrt{y^2}}$

$=3xy.\frac{\sqrt{{\left(6x^2\right)}^2}}{\sqrt{y^2}}=3xy.\frac{\left|6x^2\right|}{\left|y\right|}$

Vì x² ≥ 0 nên | x² | = x².

Vì y > 0 nên |y| = y.

Do đó

$3xy.\frac{\left|6x^2\right|}{\left|y\right|}=3xy.\frac{6x^2}{y}=18x^3$

Vậy $3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}=18x^3$với y > 0.

c) $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}=2x{y}^3.\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{x^2{y}^4}}$

$=2x{y}^3.\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{x^2}.\sqrt{{\left(y^2\right)}^2}}=2x{y}^3.\frac{8}{\left|x\right|.\left|y^2\right|}$

Vì x > 0 nên |x| = x.

Vì y ≠ 0 nên y² > 0. Suy ra | y² | = y².

Do đó $2x{y}^3.\frac{8}{\left|x\right|.\left|y^2\right|}=2x{y}^3.\frac{8}{x{y}^2}=16y$.

Vậy $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}=16y$ với x > 0, y ≠ 0.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Câu 1:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 2:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 3:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 4:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 5:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 6:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 7:

Lời giải

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 8:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 9:

Có bao nhiêu giá trị của x để A = B?

A. 1

B. 2

C. 0

D. Vô số

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 10:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích: