Lý thuyết Hệ số góc của đường thẳng y = ax (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax

A. Lý thuyết

1. Khái niệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

a. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox

Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox và M là một điểm thuộc đường thẳng và có tung độ dương.

Khi đó, $\widehat{Max}$là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x + 3. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox.

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = x + 3

+ Cho x = 0 thì y = 3 ta được điểm A (0; 3).

+ Cho y = 0 thì x = −3 ta được điểm B (−3; 0).

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(0; 3); B(−3; 0).

Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = x + 3 với trục Ox là α, ta có $\widehat{ABO}=\alpha$.

Xét tam giác vuông OAB, ta có $\tan \alpha =\frac{OA}{OB}=\frac{3}{3}=1$(1 chính là hệ số góc của đường thẳng y = x + 3)

Khi đó số đo góc α là α = 45°.

Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là 45°.

2. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

− Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90°.

Khi a < 0 góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.

Như vậy, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox phụ thuộc vào a.

Người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

Chú ý. Khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta có thể nói a là hệ số góc của đường thẳng y = ax.

Ví dụ 2. Cho (d): y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d') trong đó (d') có hệ số góc bằng 1.

Lời giải:

Theo bài ta, (d) đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0.

(d) song song với (d') và (d') có hệ số góc bằng 1 nên a = 1.

Vậy a = 1, b = 0.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1; 2) và có hệ số góc là 3.

Lời giải:

Phương trình đường thẳng có hệ số góc 3 (tức là a = 3) có phương trình dạng:

y = 3x + b.

Vì phương trình này đi qua điểm M(1; 2) nên có:

2 = 3.1 + b

$\iff$ b = 2 − 3

$\iff$ b = −1.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 3x – 1.

Bài 2.

a) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1).

b) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; −2).

Lời giải

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng y = ax + b.

a) Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm A(2; 1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: 1 = a . 2 $\iff$ a = $\frac{1}{2}$.

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1) là a = $\frac{1}{2}$.

b) Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm B(1; −2) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: − 2 = a . 1$\iff$ a = − 2.

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; − 2) là a = − 2.

Bài 3. Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(4;0) và B(0;3). Khi đó, hãy tính:

a) Vẽ đồ thị hàm số (d) vừa tìm được và tính góc α tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox.

b) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d).

c) Tính diện tích tam giác OAB.

Lời giải:

a) Vì (d) đi qua A(4; 0) nên tọa độ A phải thỏa mãn phương trình:

y = ax + b

$\iff$4a + b = 0 (1)

Tương tự (d) đi qua B(0;3) nên tọa độ B phải thỏa mãn phương trình:

y = ax + b

$\iff$ 3 = a . 0 + b

$\iff$ b = 3.

Thay b = 3 vào (1) ta được a = $-\frac{3}{4}$.

Do đó đồ thị hàm số tìm là: $y=-\frac{3}{4}x+3$.

* Vẽ đồ thị hàm số

+ Cho x = 0 thì y = 3 ta được điểm A(4; 0).

+ Cho y = 0 thì x = 4 ta được điểm B(0; 3).

Do đó, đồi thị hàm số đi qua 2 điểm A(4; 0) và B(0; 3).

Ta có đồ thị như sau:

− Xét tam giác AOB vuông tại O, ta có:

$\tan \widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{3}{4}\approx \tan {36}^{o}52\text{'}$

$\Rightarrow \widehat{OAB}\simeq {36}^{o}52\text{'}$

$\Rightarrow \alpha ={180}^o-{36}^{o}52\text{'}={143}^{o}8\text{'}$

Vây góc tạo bởi (d) và trục hoành Ox (tức đường thẳng y = 0) là α = 143^o8'.

b) Vẽ OH ⊥ AB.

Tam giác OAB là tam giác vuông tại O, ta có OH ⊥ AB nên:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{3^2}=\frac{25}{144}$

$\Rightarrow OH=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}=\mathrm{2,4}$.

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng (d) là 2,4 (đvđd).

c) Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên ta có:

$S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.4.3=6$.

Vậy diện tích tam giác OAB là 6 (đvdt).

Trắc nghiệm Toán lớp 9 Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

Câu 1:

A. –k

B. k

C. $\frac{1}{k}$

D. b

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đường thẳng d có phương trình y = −kx + b (k$\ne$0) có –k là hệ số góc

Câu 2:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 3:

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. tan$\alpha$ < 0

B. tan$\alpha$ > 0

C. tan$\alpha$ = 0

D. tan$\alpha$ = 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b (a $\ne$ 0)

Gọi là góc tạo bởi tia Ox và d.

Ta có a = tan$\alpha$ mà a < 0 nên tan$\alpha$ < 0

Câu 4:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đường thẳng d có phương trình y = ax + b (a$\ne$0) có a là hệ số góc

Câu 5:

A. 120^o

B. 150^o

C. 60^o

D. 90^o

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 6:

A. y = x – 2

B. y = x + 2

C. y = −x – 2

D. y = x + 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi phương trình đường thẳng d:

y = ax + b (a $\ne$ 0)

Vì góc tạo bởi đường thẳng d và trục Ox là 45^o nên

a = tan45^o = 1 $\Rightarrow$ y = x + b

Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng d ta có

−1 + b = 1 $\Rightarrow$ b = 2

Nên d: y = x + 2

Câu 7:

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Cho đường thẳng d có phương trình

y = ax + b (a $\ne$0)

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia Ox và d.

Ta có a = tan$\alpha$

Câu 8:

A. y = x – 4

B. y = −x – 4

C. y = x + 4

D. y = −x + 4

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi phương trình đường thẳng d: y = ax + b (a $\ne$ 0)

Vì góc tạo bởi đường thẳng d và đường thẳng y = 2 là 135^o nên góc tạo bởi đường thẳng y và trục Ox cũng là 135^o (do đường thẳng y = 2 song song với trục Ox) nên

a = tan135^o = −1

$\Rightarrow$ y = −x + b

Vì đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ 4 nên b = 4

Từ đó d: y = −x + 4

Câu 9:

A. −2

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đường thẳng d: y = 2x + 1 có hệ số góc là a = 2

Câu 10:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích: