Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bài giảng Toán 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

I. Lý thuyết

1. Quy tắc cộng đại số

Định nghĩa: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.

Các bước cộng đại số:

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình đã cho để được phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới đấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

Ví dụ 1: Xét hệ phương trình $\begin{array}{l}2\mathrm{x}-\mathrm{y}=5\\ 3\mathrm{x}+\mathrm{y}=10\end{array}$(I). Áp dụng quy tắc cộng đại số để biến đổi hệ phương trình.

Ta có: $\begin{array}{l}2\mathrm{x}-\mathrm{y}=5\left(1\right)\\ 3\mathrm{x}+\mathrm{y}=10\left(2\right)\end{array}$.

Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2) ta được hệ mới:

$\begin{array}{l}\left(2\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)+\left(3\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=5+10\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=5\end{array}\iff \begin{array}{l}2\mathrm{x}-\mathrm{y}+3\mathrm{x}+\mathrm{y}=15\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=5\end{array}\iff \begin{array}{l}5\mathrm{x}=15\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=5\end{array}$

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

a) Trường hợp thứ nhất: Các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hệ phương trình đã bằng nhau hoặc đối nhau

Bước 1: Cộng (trừ) vế với với của hai phương trình ban đầu với nhau đề được phương trình mới.

Bước 2: Viết lại hệ phương trình mới với một phương trình là phương trình mới sau khi đã cộng (trừ) đại số và một phương trình là phương trình ban đầu của hệ. Giải hệ phương trình.

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình: $\begin{array}{l}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\\ 4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=11\end{array}$

Ta có: $\begin{array}{l}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\left(1\right)\\ 4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=11\left(2\right)\end{array}$

Trừ vế với vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được hệ phương trình mới:

$\begin{array}{l}\left(\mathrm{x}+3\mathrm{y}\right)-\left(4\mathrm{x}+3\mathrm{y}\right)=5-11\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}+3\mathrm{y}-4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-6\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\end{array}\iff \begin{array}{l}-3\mathrm{x}=-6\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=\left(-6\right):\left(-3\right)\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ 2+3\mathrm{y}=5\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ 3\mathrm{y}=5-2\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ 3\mathrm{y}=3\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{y}=1\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (2; 1).

b) Trường hợp thứ 2: Các hệ số của mỗi ẩn trong phương trình không bằng nhau hoặc không đối nhau

Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với các số thích hợp sao cho với một ẩn nào đó các hệ số bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Cộng (trừ) vế với với của hai phương trình ban đầu với nhau đề được phương trình mới.

Bước 3: Viết lại hệ phương trình mới với một phương trình là phương trình mới sau khi đã cộng (trừ) đại số và một phương trình là phương trình ban đầu của hệ. Giải hệ phương trình.

Ví dụ 3: Xét hệ phương trình $\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\left(1\right)\\ 3\mathrm{x}+2\mathrm{y}=7\left(2\right)\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và hai vế của phương trình (2) với 2 ta được hệ mới

$\begin{array}{l}3.\left(2\mathrm{x}+3\mathrm{y}\right)=3.5\\ 2.\left(3\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)=2.7\end{array}\iff \begin{array}{l}6\mathrm{x}+9\mathrm{y}=15\\ 6\mathrm{x}+4\mathrm{y}=14\end{array}$

II. Bài tập vận dụng

Giải các hệ phương trình sau:

a) $\begin{array}{l}2\mathrm{x}+5\mathrm{y}=8\\ 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=0\end{array}$

b) $\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-2\\ 3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=-3\end{array}$

c) $\begin{array}{l}3\sqrt{\mathrm{x}-1}+2\sqrt{\mathrm{y}}=13\\ 2\sqrt{\mathrm{x}-1}-\sqrt{\mathrm{y}}=4\end{array}$

Lời giải:

a) $\begin{array}{l}2\mathrm{x}+5\mathrm{y}=8\\ 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\left(2\mathrm{x}+5\mathrm{y}\right)-\left(2\mathrm{x}-2\mathrm{y}\right)=8-0\\ 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=0\end{array}$

(trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai)

$\begin{array}{l}2\mathrm{x}+5\mathrm{y}-2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=8\\ 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}8\mathrm{y}=8\\ 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{y}=8:8\\ 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}2\mathrm{x}-3.1=0\\ \mathrm{y}=1\end{array}\iff \begin{array}{l}2\mathrm{x}-3=0\\ \mathrm{y}=1\end{array}\iff \begin{array}{l}2\mathrm{x}=3\\ \mathrm{y}=1\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{3}{2}\\ \mathrm{y}=1\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = $\left(\frac{3}{2};1\right)$.

b) $\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-2\\ 3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=-3\end{array}\iff \begin{array}{l}6\mathrm{x}+9\mathrm{y}=-6\\ 6\mathrm{x}-4\mathrm{y}=-6\end{array}$

(Ta nhân cả hai vế của phương trình một với 3 và phương trình hai với 2)

$\iff \begin{array}{l}6\mathrm{x}+9\mathrm{y}=-6\\ \left(6\mathrm{x}+9\mathrm{y}\right)-\left(6\mathrm{x}-4\mathrm{y}\right)=\left(-6\right)-\left(-6\right)\end{array}$

(trừ vế với vế của phương thứ nhất cho phương trình thứ hai)

$\iff \begin{array}{l}6\mathrm{x}+9\mathrm{y}=-6\\ 6\mathrm{x}+9\mathrm{y}-6\mathrm{x}+4\mathrm{y}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}6\mathrm{x}+9\mathrm{y}=-6\\ 13\mathrm{y}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}6\mathrm{x}+9\mathrm{y}=-6\\ \mathrm{y}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}6\mathrm{x}+9.0=-6\\ \mathrm{y}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}6\mathrm{x}=-6\\ \mathrm{y}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=-1\\ \mathrm{y}=0\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (-1; 0).

c) $\begin{array}{l}3\sqrt{\mathrm{x}-1}+2\sqrt{\mathrm{y}}=13\\ 2\sqrt{\mathrm{x}-1}-\sqrt{\mathrm{y}}=4\end{array}$

Điều kiện: $\mathrm{x}\ge 1;\mathrm{y}\ge 0$

Đặt $\begin{array}{l}\sqrt{\mathrm{x}-1}=\mathrm{a}\left(\mathrm{a}\ge 0\right)\\ \sqrt{\mathrm{y}}=\mathrm{b}\left(\mathrm{b}\ge 0\right)\end{array}$

Khi đó hệ phương trình trở thành $\begin{array}{l}3\mathrm{a}+2\mathrm{b}=13\left(1\right)\\ 2\mathrm{a}-\mathrm{b}=4\left(2\right)\end{array}$

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 khi đó ta có hệ mới

$\begin{array}{l}3\mathrm{a}+2\mathrm{b}=13\left(1\right)\\ 4\mathrm{a}-2\mathrm{b}=8\left(3\right)\end{array}$

Lấy (1) + (3) ta được hệ

$\begin{array}{l}3\mathrm{a}+2\mathrm{b}+4\mathrm{a}-2\mathrm{b}=13+8\\ 3\mathrm{a}+2\mathrm{b}=13\end{array}\iff \begin{array}{l}7\mathrm{a}=21\\ 3\mathrm{a}+2\mathrm{b}=13\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{a}=21:7\\ 3\mathrm{a}+2\mathrm{b}=13\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{a}=3\\ 3.3+2\mathrm{b}=13\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{a}=3\\ 2\mathrm{b}=13-9\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{a}=3\\ 2\mathrm{b}=4\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{a}=3\\ \mathrm{b}=2\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}\sqrt{\mathrm{x}-1}=3\\ \sqrt{\mathrm{y}}=2\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}-1=9\\ \mathrm{y}=4\end{array}\iff \begin{array}{l}\mathrm{x}=10\\ \mathrm{y}=4\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (10; 4).

Trắc nghiệm Toán lớp 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Câu 1:

A. x + y = −1

B. x + y = 1

C. x + y = 0

D. x + y = 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$\begin{array}{l}2x+3y=-2\\ 3x-2y=-3\end{array}\iff \begin{array}{l}4x+6y=-4\\ 9x-6y=-9\end{array}\iff \begin{array}{l}13x=-13\\ 2x+3y=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

(x; y) = (−1; 0)

$\Rightarrow$ x – y = −1 – 0 = −1

Câu 2:

A. (x; y) = $\left(-\frac{3}{2};4\right)$

B. (x; y) = $\left(4;-\frac{3}{2}\right)$

C. (x; y) = $\left(-\frac{3}{2};-4\right)$

D. (x; y) = (−2; 2)

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l}8x+7y=16\\ 8x-3y=-24\end{array}\iff \begin{array}{l}8x+7y=16\\ 8x+7y-\left(8x-3y\right)=16-\left(-24\right)\end{array}\iff \begin{array}{l}8x+7y=16\\ 10y=40\end{array}\iff \begin{array}{l}y=4\\ 8x+7.4=16\end{array}\iff \begin{array}{l}y=4\\ x=-\frac{3}{2}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = $\left(-\frac{3}{2};4\right)$

Câu 3:

A. 3$\sqrt{2}$ + 2

B. −3$\sqrt{2}$ − 2

C. 2$\sqrt{2}$− 2

D. 3$\sqrt{2}$ − 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2}\end{array}\iff \begin{array}{l}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ x\sqrt{2}+y\sqrt{6}=2\end{array}\iff \begin{array}{l}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ \left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)y=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ y=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\end{array}\iff \begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}\\ x\sqrt{2}-\sqrt{3}.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}=1\end{array}\iff \begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}\\ x=1\end{array}$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

(x; y) = $\left(1;\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}\right)$

Câu 4:

Nghiệm của hệ phương trình là (x; y), tính x – y:

A. x – y = −1

B. x – y = 1

C. x – y = 0

D. x – y = 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l}2x-3y=1\\ 4x+y=9\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-3y=1\\ 12x+3y=27\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-3y=1\\ 2x-3y+12x+3y=1+27\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-3y=1\\ 14x=28\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

(x; y) = (2; 1)

$\Rightarrow$ x – y = 2 – 1 = 1

Câu 5:

A. x. y = 1

B. x + y = 0

C. x – y = −2

D. y : x = 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

ĐK: x $\ge$ −3; y $\ge$ −1

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\ 2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{array}\iff \begin{array}{l}2\sqrt{x+3}-4\sqrt{y+1}=4\\ 2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{array}\iff \begin{array}{l}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\ -5\sqrt{y+1}=0\end{array}\iff \begin{array}{l}y=-1\\ \sqrt{x+3}-2.\sqrt{\left(-1\right)+1}=2\end{array}\iff \begin{array}{l}y=-1\\ \sqrt{x+3}=2\end{array}\iff \begin{array}{l}y=-1\\ x+3=4\end{array}\iff \begin{array}{l}y=-1\\ x=1\end{array}\left(tm\right)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (1; −1)

Nên x + y = 1 + (−1) = 0

Câu 6:

A. 2

B. 0

C. −2

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

ĐK: x $\ge$0; y$\ge$0

Ta có

$\begin{array}{l}4\sqrt{x}-3\sqrt{y}=4\\ 2\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\end{array}\iff \begin{array}{l}4\sqrt{x}-3\sqrt{y}=4\\ 4\sqrt{x}+2\sqrt{y}=4\end{array}\iff \begin{array}{l}5\sqrt{y}=0\\ 2\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\end{array}\iff \begin{array}{l}\sqrt{y}=0\\ 2\sqrt{x}=2\end{array}\iff \begin{array}{l}y=0\\ x=1\end{array}\left(tm\right)$

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

(x; y) = (1; 0) $\Rightarrow$ x.y = 0

Câu 7:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

ĐK: y $\ne$0

Ta có

$\begin{array}{l}x+\frac{1}{y}=2\\ 2x-\frac{3}{y}=1\end{array}\iff \begin{array}{l}2x+\frac{2}{y}=4\\ 2x-\frac{3}{y}=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x+\frac{1}{y}=2\\ \frac{5}{y}=3\end{array}\iff \begin{array}{l}y=\frac{5}{3}\\ x+\frac{1}{\frac{5}{3}}=2\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{7}{5}\\ y=\frac{5}{3}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = $\left(\frac{7}{5};\frac{5}{3}\right)$

Câu 8:

A. 225

B. 0

C. 125

D. 15

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

ĐK: x$\ge$0; y$\ge$0

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi trừ từng vế của hai phương trình:

$\begin{array}{l}0,3\sqrt{x}+0,5\sqrt{y}=3\\ 1,5\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1,5\end{array}\iff \begin{array}{l}1,5\sqrt{x}+2,5\sqrt{y}=15\\ 1,5\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1,5\end{array}\iff \begin{array}{l}4,5\sqrt{y}=13,5\\ 1,5\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1,5\end{array}\iff \begin{array}{l}\sqrt{y}=3\\ 1,5\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1,5\end{array}\iff \begin{array}{l}\sqrt{y}=3\\ 1,5\sqrt{x}-2.3=1,5\end{array}\iff \begin{array}{l}y=9\\ 1,5\sqrt{x}=7,5\end{array}\iff \begin{array}{l}y=9\\ \sqrt{x}=5\end{array}\iff \begin{array}{l}y=9\\ x=25\end{array}\left(tm\right)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (25; 9)$\Rightarrow$xy = 25.9=225

Câu 9:

A. 2

B. −2

C. $-\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

ĐK: x$\ne$0

Ta có

$\begin{array}{l}\frac{2}{x}+y=3\\ \frac{1}{x}-2y=4\end{array}\iff \begin{array}{l}\frac{4}{x}+2y=6\\ \frac{1}{x}-2y=4\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ \frac{2}{x}+y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-1\end{array}\left(tm\right)$

Vậy hệ phương trình cps 1 nghiệm duy nhất (x; y) = $\left(\frac{1}{2};-1\right)$

Câu 10:

A. m = 40

B. m = 5

C. m = 50

D. m = 60

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l}\frac{x+1}{4}-\frac{y}{2}=x+y+1\\ \frac{x-2}{2}+\frac{y-1}{3}=x+y-1\end{array}\iff \begin{array}{l}x+1-2y=4x+4y+4\\ 3x-6+2y-2=6x+6y-6\end{array}\iff \begin{array}{l}3x+6y=-3\\ 3x+4y=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}y=\frac{-1}{2}\\ x=0\end{array}$

Thay x = 0; $y=-\frac{1}{2}$ vào phương trình

(m + 2)x + 7my = m – 225 ta được:

(m + 2).0 + 7m$\left(-\frac{1}{2}\right)$ = m – 225

$\iff \frac{9}{2}$m = 225 $\iff$ m = 50