Giải Toán 12 trang 51 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 trang 51Tập 1

Bài 2 trang 51 Toán 12 Tập 1:Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh rằng $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$\iff \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SD}$$\iff \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$

Bài 3 trang 51 Toán 12 Tập 1:Ba lực có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương, cùng phương với 3 cạnh và cùng có cường độ là 5 N. Tính cường độ của hợp lực.

Lời giải:

Giả sử 3 lực có điểm đặt là A và các lực là $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có hợp lực: $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$.

Theo đề ta có $\left.\overrightarrow{AB}\right|=\left.\overrightarrow{AD}\right|=\left.\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right|=5$.

Mà AC' là đường chéo của của hình lập phương nên $A{C}^{\text{'}}=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+A{A^{\text{'}}}^2}=5\sqrt{3}$

Vậy cường độ của hợp lực là $5\sqrt{3}N$.

Bài 4 trang 51 Toán 12 Tập 1:Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng $2\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3\left(SI+\overrightarrow{SJ}\right)$.

Lời giải:

Vì I là trọng tâm của DABC nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SI}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SI}$ (1).

Tương tự, $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SJ}$ (2).

Cộng từng vế (1) và (2), ta có: $2\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3\left(SI+\overrightarrow{SJ}\right)$.

Bài 5 trang 51 Toán 12 Tập 1:Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Lời giải:

Do ABB'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow{B^{\text{'}}B}=-\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$.

Có $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{B^{\text{'}}B}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Do ACC'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$.

$\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Bài 6 trang 51 Toán 12 Tập 1:Nếu một vật có khối lượng m (kg) thì lực hấp dẫn $\overrightarrow{P}$ của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$, trong đó $\overrightarrow{g}$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8 m/s². Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 102 gam (Hình 28).

Lời giải:

Đổi 102 gam = 0,102 kg.

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là:

$\left.\overrightarrow{P}\right|=m\left.\overrightarrow{g}\right|=0,102.9,8=0,9996$ N.

Bài 7 trang 51 Toán 12 Tập 1:Trong điện trường đều, lực tĩnh điện $\overrightarrow{F}$(đơn vị: N) tác dụng lên điện tích điểm có điện tích q (đơn vị: C) được tính theo công thức $\overrightarrow{F}=q.\overrightarrow{E}$, trong đó $\overrightarrow{E}$là cường độ điện trường (đơn vị: N/C). Tính độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm khi q = 10⁻⁹C và độ lớn điện trường E = 10⁵ N/C (Hình 29).

Lời giải:

Độ lớn của lực tĩnh điện là $\left.\overrightarrow{F}\right|=q.\left.\overrightarrow{E}\right|={10}^{-9}{.10}^5={10}^{-4}$ N.

Bài 8 trang 51 Toán 12 Tập 1:Một lực tĩnh điện $\overrightarrow{F}$ tác động lên điện tích điểm M trong điện trường đều làm cho M dịch chuyển theo đường gấp khúc MPN (Hình 30). Biết q = 2.10⁻¹² C, vectơ điện trường có độ lớn E = 1,8.10⁵ N/C và d = MH = 5 mm. Tính công A sinh bởi lực tĩnh điện $\overrightarrow{F}$.

Lời giải:

Đổi 5 mm = 5.10^-3 m

Công A sinh bởi lực tĩnh điện $\overrightarrow{F}$ là A = qEd = 2.10⁻¹². 1,8.10⁵. 5.10^-3 = 18.10^-10 (J).