Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: a) vecto AB + vecto B'C' + vetco DD' = vecto AC'

Giải Toán 12Chân trời sáng tạo Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$;

b) $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$;

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành.

Khi đó $\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$; $\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AD}\left(=\overrightarrow{BC}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ (theo quy tắc hình hộp).

b) $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$

Có $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$

$=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$

$=\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}\right)$

$=\overrightarrow{BB\text{'}}$

Vì $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$.

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$

Vì AD // B'C' và AD = B'C' (do cùng song song và bằng BC).

Do đó ADC'B' là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$.

Tương tự DA'B'C là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}$ và $\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}\right)+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\left(\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}\right)+\left(\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}\right)=\overrightarrow{0}$