Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xác định góc (AC,B'D'), (A'A,CB')

Giải Toán 12Chân trời sáng tạo Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Thực hành 7 trang 49 Toán 12 Tập 1:Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xác định góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)$, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}A},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)$.

Lời giải:

Vì AA' // CC' và AA' = CC' nên AA'C'C là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=90°$ (Vì A'B'C'D' là hình vuông nên A'C' $\perp$ B'D').

Vì AA'B'B là hình vuông nên $\overrightarrow{A^{\text{'}}A}=\overrightarrow{B^{\text{'}}B}$ .

Do đó $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}A},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{B^{\text{'}}B},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)=180°-\widehat{B{B}^{\text{'}}C}=180°-45°=135°$

(Vì BB'C'C là hình vuông nên B'C là phân giác của $\widehat{BB\text{'}C\text{'}}$ ).

*Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ

Định nghĩa góc giữa hai vectơ:Cho hai vectơđều khác vectơ-không. Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ các vectơ. Khi đó số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc giữa hai vectơ, hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ.

*Lý thuyết:

1. Góc giữa hai vecto là gì?

- Định nghĩa:Cho hai vectơ$\overrightarrow{a}$và$\overrightarrow{b}$đều khác vectơ$\overrightarrow{0}$. Từ một điểm O bất kì, ta vẽ hai vectơ$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$và$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Khi đó, góc$\widehat{AOB}$với số đo từ$0^o$đến${180}^o$được gọi là góc giữa hai vectơ$\overrightarrow{a}$và$\overrightarrow{b}$.

- Kí hiệu góc giữa hai vectơ$\overrightarrow{a}$và$\overrightarrow{b}$:$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

- Chú ý: Với hai vectơ$\overrightarrow{a}$và$\overrightarrow{b}$đều khác vectơ$\overrightarrow{0}$.

+ Nếu$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$=${90}^o\iff \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$hoặc$\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

+ Nếu$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$=$0^o\iff$Hai vectơ$\overrightarrow{a}$và$\overrightarrow{b}$cùng hướng.

+ Nếu$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$=${180}^o\iff$Hai vectơ$\overrightarrow{a}$và$\overrightarrow{b}$ngược hướng.

2. Đặc điểm của góc giữa hai vecto

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a})$

- Góc giữa hai vecto cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0^o

- Góc gữa hai vecto ngược hướng và khác$\overrightarrow{0}$luôn bằng 180^o

- Nếu$(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$= 90^othì ta nói$\overrightarrow{u}$và$\overrightarrow{v}$vuông góc với nhau, kí hiệu là$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$hoặc$\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{u}$. Đặc biệt$\overrightarrow{0}$được coi là vuông góc với mọi vecto.

3. Định lí góc giữa hai vecto

- Góc không xác định nếu tồn tại 1 vecto không hay có thể nói góc bằng 0

- Cả hai vecto đều khác 0, tiến hành đưa về chung gốc để có thể tính toán.

II. Công thức tính góc giữa hai vecto

- Cho hai vectơ$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$và$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$đều khác vectơ$\overrightarrow{0}$ta có:

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\widehat{AOB}$($0^o\le \widehat{AOB}\le {180}^o$)

- Cho hai vectơ$\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$và$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$đều khác vectơ$\overrightarrow{0}$ta có:

$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1+a_2}.\sqrt{b_1+b_2}}\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={90}^o\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff a_1.b_1+a_2.b_2=0$

- Lưu ý: Góc giữa hai vectơ luôn có số đo từ$0^o$đến${180}^o$.