S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh

Giải Toán 12Chân trời sáng tạo Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 4 trang 51 Toán 12 Tập 1:Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng $2\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3\left(SI+\overrightarrow{SJ}\right)$.

Lời giải:

Vì I là trọng tâm của DABC nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SI}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SI}$ (1).

Tương tự, $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SJ}$ (2).

Cộng từng vế (1) và (2), ta có: $2\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3\left(SI+\overrightarrow{SJ}\right)$.