Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. a) Tính các tích vô hướng

Giải Toán 12Chân trời sáng tạo Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Thực hành 8 trang 50 Toán 12 Tập 1:Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ , $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ .

b) Tính góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right)$ (kết quả làm tròn đến phút).

Lời giải:

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ (do A'B'C'D' là hình vuông nên A'C' là phân giác của góc $\widehat{D^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ ).

Vì A'B'C'D' là hình vuông cạnh bằng 1 nên $A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\sqrt{2}$ .

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left.\overrightarrow{AB}\right|.\left.\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=1.\sqrt{2}.\cos 45°=1.$

Vì ACC'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right)=\widehat{BA{A}^{\text{'}}}=90°$ .

Do đó $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ . Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=0$ .

b) $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{CA{C}^{\text{'}}}$ .

Ta có AC' là đường chéo của hình lập phương cạnh bằng 1 nên $A{C}^{\text{'}}=\sqrt{3}$ .

AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh bằng 1 nên $AC=\sqrt{2}$ .

Xét DACC' có $\cos \widehat{CA{C}^{\text{'}}}=\frac{A{C}^2+A{C^{\text{'}}}^2-C{C^{\text{'}}}^2}{2.AC.A{C}^{\text{'}}}=\frac{2+3-1}{2.\sqrt{2}.\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\Rightarrow \widehat{CA{C}^{\text{'}}}\approx 35°16\text{'}$

Vậy $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right)\approx 35°16\text{'}$ .