Giải Toán 12 trang 50 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 trang 50Tập 1

Thực hành 8 trang 50 Toán 12 Tập 1:Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ , $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ .

b) Tính góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right)$ (kết quả làm tròn đến phút).

Lời giải:

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ (do A'B'C'D' là hình vuông nên A'C' là phân giác của góc $\widehat{D^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ ).

Vì A'B'C'D' là hình vuông cạnh bằng 1 nên $A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\sqrt{2}$ .

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left.\overrightarrow{AB}\right|.\left.\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=1.\sqrt{2}.\cos 45°=1.$

Vì ACC'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right)=\widehat{BA{A}^{\text{'}}}=90°$ .

Do đó $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ . Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=0$ .

b) $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{CA{C}^{\text{'}}}$ .

Ta có AC' là đường chéo của hình lập phương cạnh bằng 1 nên $A{C}^{\text{'}}=\sqrt{3}$ .

AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh bằng 1 nên $AC=\sqrt{2}$ .

Xét DACC' có $\cos \widehat{CA{C}^{\text{'}}}=\frac{A{C}^2+A{C^{\text{'}}}^2-C{C^{\text{'}}}^2}{2.AC.A{C}^{\text{'}}}=\frac{2+3-1}{2.\sqrt{2}.\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\Rightarrow \widehat{CA{C}^{\text{'}}}\approx 35°16\text{'}$

Vậy $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right)\approx 35°16\text{'}$ .

Vận dụng 4 trang 50 Toán 12 Tập 1:Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30° (Hình 27).

a) Tính độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do $\overrightarrow{g}$ có độ lớn là g = 9,8 m/s².

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ được tính bởi công thức $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}$ . Hãy tính công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Lời giải:

a) Ta có $\left.\overrightarrow{P}\right|=m\left.\overrightarrow{g}\right|=25.9,8=245$N.

b)

Theo đề ta có $A=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{d}$ ,$\left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{d}\right)=60°$

$A=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{d}$$=\left.\overrightarrow{P}\right|.\left.\overrightarrow{d}\right|.\cos \left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{d}\right)=245.3,5.\cos 60°\approx 428,75$ J.

Bài tập

Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$;

b) $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$;

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành.

Khi đó $\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$; $\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AD}\left(=\overrightarrow{BC}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ (theo quy tắc hình hộp).

b) $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$

Có $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$

$=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$

$=\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}\right)$

$=\overrightarrow{BB\text{'}}$

Vì $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$.

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$

Vì AD // B'C' và AD = B'C' (do cùng song song và bằng BC).

Do đó ADC'B' là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$.

Tương tự DA'B'C là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}$ và $\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}\right)+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\left(\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}\right)+\left(\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}\right)=\overrightarrow{0}$