Giải Toán 12 trang 48 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 trang 48Tập 1

Vận dụng 3 trang 48 Toán 12 Tập 1:Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60°$ (Hình 22).

a) Sử dụng công thức $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ trong đó $\overrightarrow{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10 m/s², tìm độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm.

b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ $\left.\overrightarrow{P}\right|=m\left.\overrightarrow{g}\right|$ = 5.10 = 50 N.

Vậy độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm là 50 N.

b)

Giả sử đèn chùm được minh họa như hình vẽ trên.

Vì đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}+\overrightarrow{T_3}+\overrightarrow{T_4}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{P}+\overrightarrow{P\text{'}}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{P}=-\overrightarrow{P\text{'}}\iff P=P\text{'}$

Có $\left.\overrightarrow{T_1}\right|=\left.\overrightarrow{T_2}\right|=\left.\overrightarrow{T_3}\right|=\left.\overrightarrow{T_4}\right|=\left.\overrightarrow{T}\right|$

Từ hình vẽ ta có:

$P\text{'}=4T\cos 30°\iff T=\frac{P^{\text{'}}}{4\cos 30°}=\frac{50}{2\sqrt{3}}=\frac{25\sqrt{3}}{3}\approx 14,4N$

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Hoạt động khám phá 6 trang 48 Toán 12 Tập 1: a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong mặt phẳng.

b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong không gian.

Lời giải:

a) Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác $\overrightarrow{0}$ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$ .

Góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ .

Kí hiệu $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ .

b) Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác $\overrightarrow{0}$ . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ . Khi đó, ta gọi $\widehat{BAC}$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ . Kí hiệu $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ .