Chuyên đề Tứ giác (2022) - Toán 8

Chuyên đề Tứ giác - Toán 8

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa tứ giác

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Chú ý:

Tứ giác ABCD trên hình gọi là tứ giác lồi.

Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác

2. Tổng các góc của một tứ giác

Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Tổng quát: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}$ˆ = 360⁰.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD trong đó có $\hat{A}$ = 60⁰, $\hat{C}$= 150⁰, $\hat{D}$= 75⁰. Tính số đo của góc $\hat{B}$ˆ?

Hướng dẫn:

Theo định lý, tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Khi đó ta có: ˆ$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}$ = 360⁰.

⇔ 60⁰ + $\overbrace{B}$ + 150⁰ + 75⁰ = 360⁰

⇔ $\overbrace{B}$= 360⁰ - 285⁰ = 75⁰.

Vậy $\overbrace{B}$= 75⁰.

B. Trắc nghiệm & Tự luận

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho tứ giác ABCD, trong đó $\hat{A}$ +$\hat{B}$ = 140⁰. Tổng $\hat{C}+\hat{D}$ = ?

A. 220⁰ 

B. 200⁰ 

C. 160⁰ 

D. 150⁰

Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Khi đó ta có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}$ = 360⁰. ⇒ ( $\hat{C}+\hat{D}$ˆ ) = 360⁰ - ( $\hat{A}+\hat{B}$ ) = 360⁰ - 140⁰ = 220⁰

Chọn đáp án A.

Bài 2: Số đo các góc của tứ giác ABCD theo tỷ lệ A:B:C:D = 4:3:2:1. Số đo các góc theo thứ tự đó là?

A. 120⁰; 90⁰ ;60⁰ ;30⁰.

B. 140⁰ ;105⁰ ;70⁰ ;35⁰.

C. 144⁰ ;108⁰ ;72⁰ ;36⁰.

D. Cả A, B, C đều sai.

Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Theo giải thiết ta có A:B:C:D = 4:3:2:1 ⇒ $\hat{A}=4\hat{D};\hat{B}=3\hat{D};\hat{C}=2\hat{D}$

Khi đó ta có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}$ˆ = 360⁰ ⇔ $4\hat{D}+3\hat{D}+2\hat{D}+\hat{D}$ =360⁰

⇔ 10$\hat{D}$ = 360⁰ ⇔ $\hat{D}$ˆ = 36⁰.

Chọn đáp án C.

Bài 3: Chọn câu đúng trong các câu sau:

A. Tứ giác ABCD có 4 góc đều nhọn.

B. Tứ giác ABCD có 4 góc đều tù.

C. Tứ giác ABCD có 2 góc vuông và 2 góc tù.

D. Tứ giác ABCD có 4 góc đều vuông.

Theo định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Nhận xét:

+ α là góc nhọn thì 0 < α < 90⁰ ⇒ 0 < 4.α < 360⁰.

⇒ Không tồn tại tứ giác ABCD có 4 góc đều nhọn. ⇒ Loại A.

+ α là góc tù thì 90⁰ < α < 180⁰ ⇒ 360⁰ < 4.α < 720⁰

⇒ Không tồn tại tứ giác ABCD có 4 góc đều tù. ⇒ Loại B.

+ α là góc vuông thì α = 90⁰; β là góc tù thì 90⁰ < β < 180⁰ ⇒ 180⁰ < 2.β < 360⁰

Khi đó ta có : 180⁰ + 180⁰ < 2α + 2β < 180⁰ + 360⁰⇒ 360⁰ < 2α + 2β < 540⁰

⇒ Không tồn tại tứ giác ABCD có 2 góc nhọn và 2 góc tù. ⇒ Loại C.

+ Vì tứ giác có 4 góc vuông thì tổng các góc bằng 360⁰.Chọn đáp án D.

Bài 4: Cho tứ giác ABCD có Aˆ = 65⁰;Bˆ = 117⁰;Cˆ = 71⁰. Số đo góc Dˆ = ?

A. 119⁰. 

B. 107⁰. 

C. 63⁰. 

D. 126⁰.

Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Khi đó ta có Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 360⁰

⇒ Dˆ = 360⁰ - (Aˆ + Bˆ + Cˆ) = 360⁰ - (65⁰ + 117⁰ + 71⁰)

⇒ Dˆ = 360⁰ - 253⁰ = 107⁰.

Chọn đáp án B.

Bài 5: Cho tứ giác ABCD trong đó có $\hat{B}$= 75⁰;$\hat{D}$ˆ = 120⁰. Khi đó $\hat{A}+\hat{C}$ˆ = ?

A. 190⁰ 

B. 130⁰ 

C. 215⁰ 

D. 165⁰

Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Khi đó ta có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}$= 360⁰ ⇒ ( $\hat{C}+\hat{A}$ˆ ) = 360⁰ - ($\hat{B}+\hat{D}$ˆ ) = 360⁰ - 195⁰ = 165⁰

Chọn đáp án D.

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tứ giác ABCD trong đó Aˆ = 73⁰,Bˆ = 112⁰,Dˆ = 84⁰. Tính số đo góc Cˆ?

Hướng dẫn:

Áp dụng định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Khi đó ta có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}$ˆ = 360⁰ ⇒ $\hat{C}$ˆ = 360⁰ - ( $\hat{A}+\hat{B}+\hat{D}$ˆ ) = 360⁰ - ( 73⁰ + 112⁰ + 84⁰ )

⇒ $\hat{C}$ = 360⁰ - 269⁰ = 91⁰.

Vậy số đo của góc $\hat{C}$ cần tìm là $\hat{C}$ = 91⁰.

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có $\hat{A}$ = 70⁰,$\hat{B}$ = 90⁰. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại O. Tính số đo góc CODˆ ?

Hướng dẫn:

Áp dụng định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Ta có Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 360⁰ ⇒ Cˆ + Dˆ = 360⁰ - (Aˆ + Bˆ) = 360⁰ - (70⁰ + 90⁰)

⇒ Cˆ + Dˆ = 200⁰

Theo giả thiết, ta có OC, OD là các đường phân giác

Khi đó ta có 

⇒ $\hat{C}$ + $\hat{D}$ˆ = $\widehat{BCO}$ˆ + $\widehat{OCD}$ˆ + $\widehat{CDO}$ˆ + $\widehat{ODA}$ˆ = 2$\widehat{OCD}$ˆ + 2$\widehat{ODC}$ˆ

⇔ 2($\widehat{OCD}$ˆ + $\widehat{ODC}$ˆ) = 200⁰ ⇔ $\widehat{OCD}$ˆ + $\widehat{ODC}$ˆ = 100⁰

Xét Δ OCD có $\widehat{ODC}$ ˆ + $\widehat{ODC}$ˆ + $\widehat{COD}$ˆ = 180⁰ 

⇒$\widehat{COD}$ = 180⁰ - ($\widehat{OCD}$ˆ + $\widehat{ODC}$ˆ) = 180⁰ - 100⁰ = 80⁰.

Vậy $\widehat{COD}$ˆ = 80⁰.