Anonymous

Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức (2022) - Toán 8

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức - Toán 8

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

+ Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Ta sẽ đưa đa thức cần phân tích về dưới dạng của hằng đẳng thức rồi phân tích thành nhân tử bằng các hằng đẳng thức (hay gặp như hiệu hai bình phương, tổng hai lập phương, hiệu hai lập phương,…)

+ Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

${\left( {3x - 1} \right)^2} - 16$

Nhận xét: ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải:

${\left( {3x - 1} \right)^2} - 16 = {\left( {3x - 1} \right)^2} - {4^2} = \left( {3x - 1 - 4} \right)\left( {3x - 1 + 4} \right) = 3\left( {3x - 5} \right)\left( {x + 1} \right)$

B. Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử

I. Bài tập trắc nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử

Câu 1: Phân tích đa thức ${\left( {2x + 5} \right)^2} - {\left( {x - 9} \right)^2}$ thành nhân tử ta được

A. $x{\left( {x - y} \right)^2}$	B. ${x^2}{\left( {x - y} \right)^2}$
C. $x\left( {x - y} \right)$	D. ${x^2}\left( {x - y} \right)$

Câu 2: Phân tích đa thức ${\left( {x + 4} \right)^3} - 64$ thành nhân tử ta được:

A. $\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)$	B. $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)$
C. $\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)$	D. $\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)$

Câu 3: Phân tích đa thức ${x^2} - 16$ thành nhân tử ta được:

A. $\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)$	B. $\left( {x + 4} \right)\left( {x + 4} \right)$
C. $\left( {x - 4} \right)\left( {x - 4} \right)$	D. $\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)$

Câu 4: Giá trị của ${73^2} - {27^2}$ bằng:

A. 4500

B. 4600

C. 4800

D. 5000

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn $3{x^3} - 12{x^2} + 12x = 0$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

II. Bài tập tự luận phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a, $2{x^8} - 12{x^4} + 18$	b, ${a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 9a{b^3}$
c, ${\left( {a + b} \right)^3} - {\left( {a - b} \right)^3}$	d, $10ab + 0,25{a^2} + 100{b^2}$
e, ${\left( {3x + 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2}$	f, $4{a^2}{b^2} - {\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)^2}$

Bài 2: Chứng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm:

a, ${x^2} - 2xy + {y^2} + {a^2}$

b, ${x^2} + {y^2} + 2x + 6y + 10$

C. Lời giải, đáp án bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

I. Bài tập trắc nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4	Câu 5
B	B	D	B	C

II. Bài tập tự luận phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1:

a, $2{x^8} - 12{x^4} + 18 = 2\left( {{x^8} - 6{x^4} + 9} \right) = 2\left[ {{{\left( {{x^4}} \right)}^2} - 2.3.{x^4} + 3} \right] = 2{\left( {{x^4} - 3} \right)^2}$

b, ${a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 9a{b^3} = ab\left( {{a^2} + 6ab + 9{b^2}} \right) = ab{\left( {a + 3b} \right)^2}$

$\begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^3} - {\left( {a - b} \right)^3} = \left( {a + b - a + b} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) + {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right]\\ = 2b\left( {{a^2} + 2ab + {b^2} + {a^2} - {b^2} + {a^2} - 2ab + {b^2}} \right) = 2b\left( {3{a^2} + {b^2}} \right) \end{array}$

$10ab + 0,25{a^2} + 100{b^2} = {\left( {\frac{1}{2}a} \right)^2} + 2.\frac{1}{2}.10ab + {\left( {10b} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{2}a + 10b} \right)^2}$

${\left( {3x + 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} = \left( {3x + 1 - x - 1} \right)\left( {3x + 1 + x + 1} \right) = 2x\left( {4x + 2} \right) = 4x\left( {2x + 1} \right)$

$\begin{array}{l} 4{a^2}{b^2} - {\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)^2} = \left( {2ab - {a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)\left( {2ab + {a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\\ = \left[ {{c^2} - {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}} \right] = \left( {c - a + b} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a + b + c} \right) \end{array}$

Bài 2:

a, ${x^2} - 2xy + {y^2} + {a^2} = {\left( {x - y} \right)^2} + {a^2}$

Có ${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\forall x,y$ và ${a^2} \ge 0\forall a$ nên ${x^2} - 2xy + {y^2} + {a^2}$ luôn nhận giá trị không âm với mọi giá trị của x, y và a

b, ${x^2} + {y^2} + 2x + 6y + 10 = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}$

Có ${\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\forall x$ và ${\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0\forall x$ nên ${x^2} + {y^2} + 2x + 6y + 10$ luôn nhận giá trị không âm với mọi giá trị của x, y