Chuyên đề Hình bình hành (2022) - Toán 8

Chuyên đề Hình bình hành - Toán 8

A. Lý thuyết Hình bình hành

1. Định nghĩa hình bình hành

- Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song

- Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔

Chú ý đặc biệt: Hình bình hành là một hình thang đặc biệt (hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song)

2. Tính chất hình bình hành

Định lí: Trong hình bình hành:

+ Các cạnh đối bằng nhau.

+ Các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

+ Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

+ Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh BE = DF và $\widehat{ABE}$ = $\widehat{CDF}$ .

Hướng dẫn:

Xét tứ giác BEDF có 

⇒ BEDF là hình bình hành

⇒ BE = DF (hai cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta có: ABCD là hình bình hành nên $\widehat{BAD}$ = $\widehat{BCD}$ˆ (1)

BEDF là hình bình hành nên $\widehat{BED}$ˆ = $\widehat{DFB}$ˆ (2)

Mà

Từ ( 2 ) và ( 3 ) ⇒ $\widehat{AEB}$ = $\widehat{DFC}$ˆ (4)

Xét Δ ABE có$\widehat{BAE}$ˆ + $\widehat{AEB}$ˆ + $\widehat{ABE}$ˆ = 180⁰ (5)

Xét Δ DFC có $\widehat{DFC}$ˆ + $\widehat{FCD}$ˆ + $\widehat{FDC}$ˆ = 180⁰ (5)

Từ ( 1 ), ( 4 ), ( 5 ) ⇒ $\widehat{ABE}$= $\widehat{CDF}$ (đpcm)

B. Các dạng Toán thường gặp

Dạng 1: Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học và tính toán

Phương pháp: Sử dụng tính chất hình bình hành

Trong hình bình hành:

+ Các cạnh đối bằng nhau

+ Các góc đối bằng nhau

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Dạng 2: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành

Phương pháp: Dấu hiệu nhận biết:

+ Tứ giác có đối song song là hình bình hành.

+ Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

C. Trắc nghiệm & Tự luận

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Chọn phương án sai trong các phương án sau?

A. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

B. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

C. Tứ giác có hai góc đối bằng nhau là hình bình hành.

D. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

+ Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

+ Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.→ Đáp án C sai.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Chọn phương án đúng trong các phương án sau.

A. Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song.

B. Hình bình hành là tứ giác có các góc bằng nhau.

C. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

D. Hình bình hành là hình thang có hai cạnh kề bằng nhau.

Trong tính chất của hình bình hành:

Định lí: Trong hình bình hành:

+ Các cạnh đối bằng nhau.

+ Các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.→ Đáp án C đúng.

Chọn đáp án C.

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có $\hat{A}$ = 120⁰, các góc còn lại của hình bình hành là?

A. $\hat{B}$ˆ = 60⁰, $\hat{C}$ˆ = 120⁰, $\hat{D}$ˆ = 60⁰.

B.$\hat{B}$ˆ = 110⁰

C. $\hat{B}$ˆ = 80⁰, $\hat{C}$ˆ = 120⁰, $\hat{D}$ˆ = 80⁰.

D. $\hat{B}$ˆ = 120⁰, $\hat{C}$ = 60⁰, $\hat{D}$ˆ = 120⁰.

Trong tính chất của hình bình hành:Định lí: Trong hình bình hành:

+ Các cạnh đối bằng nhau.

+ Các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

⇒ Aˆ = Cˆ = 120⁰.

Khi đó ta có:

 

⇒ Bˆ = Dˆ = 60⁰

Chọn đáp án A.

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có Aˆ - Bˆ = 20⁰. Xác định số đo góc A và B?

A. Aˆ = 80⁰, Bˆ = 100⁰

B. Aˆ = 100⁰, Bˆ = 80⁰

C. Aˆ = 80⁰, Bˆ = 60⁰

D. Aˆ = 120⁰, Bˆ = 100⁰

Theo giả thiết, ta có: Aˆ - Bˆ = 20⁰ ⇒ Aˆ = Bˆ + 20⁰

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên Aˆ + Bˆ = 180⁰

Khi đó:

 

Chọn đáp án B.

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có I là giao điểm của AC và BD. Chọn phương án đúng trong các phương án sau

A. AC = BD

B. ΔABD cân tại A.

C. BI là đường trung tuyến của Δ ABC

D. $\hat{A}$ˆ + $\hat{C}$ˆ =$\hat{B}+\hat{D}$.

Trong hình bình hành các góc đối bằng nhau

Hay  ⇒ Aˆ + Bˆ = Cˆ + Dˆ → đáp án D sai.

+ ΔABD cân tại A khi và chỉ khi AB = AD nhưng theo giả thiết ta chưa có dữ kiện này→ Đáp án B sai.

+ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.→ Đáp án A sai vì theo giả thiết chưa đủ dữ kiện

Chọn đáp án C.

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A, C xuống BD.

a) Chứng minh AHCK là hình bình hành.

b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh A, O, C thẳng hàng.

Hướng dẫn:

a) Từ giả thiết ta có: ⇒ AH // CK (1)

Áp dụng tính chất về cạnh của hình bình hành và tính chất của các góc so le ta có:

 

⇒ ΔADH = ΔCBK (trường hợp cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AH = CK (cạnh tương tương ứng bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác AHCK có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

b) Áp dụng tính chất đường chéo của hình bình hành AHCK

Hình bình hành AHCK có hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Do O là trung điểm của HK nên O cũng là trung điểm của AC

⇒ A, O, C thẳng hàng.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Đường chéo BD cắt AK, AI lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:

a) AK // CI

b) DM = MN = NB

Hướng dẫn:

a) Áp dụng định nghĩa, tính chất và theo giả thiết của hình bình hành, ta có:

Tứ giác AICK có cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên AICK là hình bình hành.

b) Theo câu a, AICK là hình bình hành

⇒ AK//CI. Khi đó , ta có: 

Mặt khác, ta lại có: AI = IB, CK = KD theo giả thiết:

Áp dụng định lý đường trung bình vào tam giác ABM, DCN ta có:

 

⇒ DM = MN = NB