Chuyên đề Phương trình tích (2022) - Toán 8

Chuyên đề Phương trình tích - Toán 8

A. Lý thuyết

1. Phương trình tích và cách giải

Phương trình tích có dạng A(x).B(x) = 0

Cách giải phương trình tích A(x).B(x) = 0 ⇔ 

Cách bước giải phương trình tích

Bước 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tổng quát A(x).B(x) = 0 bằng cách:

Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình về vế trái. Khi đó vế phải bằng 0.

Phân tích đa thức ở vế phải thành nhân tử

Bước 2: Giải phương trình và kết luận

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình (x + 1)(x + 4) = (2 - x)(2 + x)

Hướng dẫn:

Ta có: (x + 1)(x + 4) = (2 - x )( 2 + x ) ⇔ x² + 5x + 4 = 4 - x²

⇔ 2x² + 5x = 0 ⇔ x(2x + 5) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 5/2; 0}

Ví dụ 2: Giải phương trình x³ - x² = 1 - x

Hướng dẫn:

Ta có: x³ - x² = 1 - x ⇔ x²(x - 1) = - (x - 1)

⇔ x²(x - 1) + (x - 1) = 0 ⇔ (x - 1)(x² + 1) = 0

( 1 ) ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1.

( 2 ) ⇔ x² + 1 = 0 (Vô nghiệm vì x² ≥ 0 ⇒ x² + 1 ≥ 1)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}.

B. Trắc nghiệm & Tự luận

I Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Nghiệm của phương trình (x + 2)(x - 3) = 0 là?

A. x = - 2.

B. x = 3.

C. x = - 2; x = 3 .

D. x = 2.

Ta có: (x + 2)(x - 3) = 0

⇔ 

Vậy nghiệm của phương trình là x = - 2; x = 3.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Tập nghiệm của phương trình (2x + 1)(2 - 3x) = 0 là?

A. S = {- 1/2}.

B. S = {- 1/2; 3/2}

C. S = {- 1/2; 2/3}.

D. S = {3/2}.

Ta có: (2x + 1)(2 - 3x) = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {- $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$}.

Chọn đáp án C.

Bài 3: Nghiệm của phương trình 2x(x + 1) = x² - 1 là?

A. x = - 1.

B. x = ± 1.

C. x = 1.

D. x = 0.

Ta có: 2x(x + 1) = x² - 1

⇔ 2x(x + 1) = (x + 1)(x - 1)

⇔ (x + 1)(2x - x + 1) = 0

⇔ (x + 1)(x + 1) = 0

⇔ (x + 1)² = 0

⇔ x + 1 = 0

⇔ x = - 1.

Vậy phương trình có nghiệm là x = - 1.Chọn đáp án A.

Bài 4: Giá trị của m để phương trình (x + 2)(x - m) = 4 có nghiệm x = 2 là?

A. m = 1.

B. m = ± 1.

C. m = 0.

D. m = 2.

Phương trình (x + 2)(x - m) = 4 có nghiệm x = 2, thay x = 2 vào phương trình đã cho

Khi đó ta có: (2 + 2)(2 - m) = 4 ⇔ 4(2 - m) = 4⇔ 2 - m = 1 ⇔ m = 1.

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.Chọn đáp án A.

Bài 5: Giá trị của m để phương trình x³ - x² = x + m có nghiệm x = 0 là?

A. m = 1.

B. m = - 1.

C. m = 0.

D. m = ± 1.

Thay x = 0 vào phương trình x³ - x² = x + m.

Khi đó ta có: 0³ - 0² = 0 + m ⇔ m = 0.Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án C.

Câu 6: Phương trình (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0 có số nghiệm là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 7: Chọn khẳng định đúng.

A. Phương trình 8x(3x – 5) = 6(3x – 5) có hai nghiệm trái dấu

B. Phương trình 8x(3x – 5) = 6(3x – 5) có hai nghiệm dương

C. Phương trình 8x(3x – 5) = 6(3x – 5) có hai nghiệm cùng âm

D. Phương trình 8x(3x – 5) = 6(3x – 5) có một nghiệm duy nhất

Câu 8: Số nghiệm của phương trình: (x² + 9) (x – 1) = (x² + 9) (x + 3) là

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Câu 9: Phương trình: (4 + 2x)(x – 1) = 0 có nghiệm là:

A. x = 1; x = 2

B. x = -2; x = 1

C. x = -1; x = 2

D. x = 1; x = 2

Câu 10: Phương trình (x² – 1) (x – 2) (x – 3) = 0 có số nghiệm là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 11: Tích các nghiệm của phương trình x³ – 3 x² – x + 3 = 0 là

A. -3

B. 3

C. -6

D. 6

Câu 12: Cho phương trình 5 – 6(2x – 3) = x(3 – 2x) + 5. Chọn khẳng định đúng.

A. Phương trình có hai nghiệm trái dấu

B. Phương trình có hai nghiệm nguyên

C. Phương trình có hai nghiệm cùng dương

D. Phương trình có một nghiệm duy nhất

Câu 13: Tập nghiệm của phương trình (x² + x) (x² + x + 1) = 6 là

A. S = {-1; -2}

B. S = {1; 2}

C. S = {1; -2}

D. S = {-1; 2}

Câu 14: Biết rằng phương trình (4 x² – 1)² = 8 x + 1 có nghiệm lớn nhất là x₀. Chọn khẳng định đúng

A. x₀ = 3

B. x₀ < 2

C. x₀ > 1

D. x₀ < 0

Câu 15: Cho phương trình x⁴ – 8 x² + 16 = 0. Chọn khẳng định đúng

A. Phương trình có hai nghiệm đối nhau

B. Phương trình vô nghiệm

C. Phương trình có một nghiệm duy nhất

D. Phương trình có 4 nghiệm phân biệt

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) (5x - 4)(4x + 6) = 0

b) (x - 5)(3 - 2x)(3x + 4) = 0

c) (2x + 1)(x² + 2) = 0

d) (x - 2)(3x + 5) = (2x - 4)(x + 1)

Hướng dẫn:

a) Ta có: (5x - 4)(4x + 6) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 3/2; 4/5}.

b) Ta có: (x - 5)(3 - 2x)(3x + 4) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 4/3; 3/2; 5}.

c) Ta có: (2x + 1)(x² + 2) = 0

Giải (1) ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ 2x = - 1 ⇔ x = - 1/2.

Ta có: x² ≥ 0 ⇒ x² + 2 ≥ 2 ∀ x ∈ R

⇒ Phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {- 1/2}.

d) Ta có: (x - 2)(3x + 5) = (2x - 4 )( x + 1)

⇔ (x - 2)(3x + 5) - 2(x - 2)(x + 1) = 0

⇔ (x - 2)[(3x + 5) - 2(x + 1)] = 0

⇔ (x - 2)(x + 3) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 3; 2}.

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) (2x + 7)² = 9(x + 2 )²

b) (x² - 1)(x + 2)(x - 3) = (x - 1)(x² - 4)(x + 5)

c) (5x² - 2x + 10)² = (x² + 10x - 8)²

d) (x² + x)² + 4(x² + x) - 12 = 0

Hướng dẫn:

a) Ta có: (2x + 7)² = 9(x + 2)²

⇔ (2x + 7)² - 9(x + 2)² = 0

⇔ [(2x + 7) + 3(x + 2)][(2x + 7) - 3(x + 2)] = 0

⇔ (5x + 13)(1 - x) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 13/5; 1}.

b) Ta có: (x² - 1)(x + 2)(x - 3) = (x - 1)(x² - 4)(x + 5)

⇔ (x² - 1)(x + 2)( x - 3) - (x - 1)(x² - 4 )(x + 5) = 0

⇔ (x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3) - (x - 1)(x - 2)(x + 2)(x + 5) = 0

⇔ (x - 1)(x + 2)[(x + 1)(x - 3) - (x - 2)(x + 5)] = 0

⇔ (x - 1)(x + 2)[(x² - 2x - 3) - (x² + 3x - 10)] = 0

⇔ (x - 1)(x + 2)(7 - 5x) = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { - 2; 1; 7/5 }.

c) Ta có: (5x² - 2x + 10)² = (3x² + 10x - 8)²

⇔ (5x² - 2x + 10)² - (3x² + 10x - 8)² = 0

⇔ [(5x² - 2x + 10) - (3x² + 10x - 8)][(5x² - 2x + 10) + (3x² + 10x - 8)] = 0

⇔ (2x² - 12x + 18)(8x² + 8x + 2) = 0

⇔ 4(x² - 6x + 9)(4x² + 4x + 1) = 0

⇔ 4(x - 3)²(2x + 1)² = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {- 1/2; 3}.

d) Ta có: (x² + x)² + 4(x² + x) - 12 = 0

Đặt t = x² + x, khi đó phương trình trở thành:

t² + 4t - 12 = 0 ⇔ (t + 6)(t - 2) = 0

+ Với t = - 6, ta có: x² + x = - 6 ⇔ x² + x + 6 = 0 ⇔ (x + 1/2)² + 23/4 = 0

Mà (x + 1/2)² + 23/4 ≥ 23/4 ∀ x ∈ R ⇒ Phương trình đó vô nghiệm.

+ Với t = 2, ta có x² + x = 2 ⇔ x² + x - 2 = 0

⇔ (x + 2)(x - 1) = 0 ⇔ 

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {- 2;1}.