Chuyên đề Chia đa thức cho đơn thức (2022) - Toán 8

Chuyên đề Chia đa thức cho đơn thức - Toán 8

A. Lý thuyết

1. Đa thức chia cho đơn thức.

Với A là đa thức và B là đơn thức, B≠0. Ta nói A chia hết cho B nếu tìm được một biểu thức Q (Q có thể là đa thức hoặc đơn thức) sao cho A= B.Q.

Trong đó:

A là đa thức bị chia.

B là đơn thức chia.

Q là thương

Kí hiệu: Q= A : B hoặc

2. Quy tắc

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Chú ý: Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a, (12x⁴y³ + 8x³y² - 4xy²):2xy.

b, (- 2x⁵ + 6x² - 4x³):2x²

Hướng dẫn:

a) Ta có: (12x⁴y³ + 8x³y² - 4xy²):2xy

= (12x⁴y³:2xy) + (8x³y²:2xy) - (4xy²:2xy)

= 6x⁴ - 1.y³ - 1 + 4x³ - 1.y² - 1 - 2x¹ - 1.y² - 1

= 6x³y² + 4x²y - 2y

b) Ta có: (- 2x⁵ + 6x² - 4x³):2x² 

= (- 2x⁵:2x²) + (6x² : 2x²) - (4x³ : 2x²)

= - x⁵ - 2 + 3x² - 2 - 2x³ - 2

= - x³ - 2x + 3.

B. Trắc nghiệm & Tự luận

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Đa thức M thỏa mãn xy² + 1/3x²y² + 7/2x³y = (5xy).M là?

A. M = y + 1/15xy² + 7/10x²

B. M = 1/5y + 1/15xy + 7/10x²

C. M = - 1/5y + 1/5x²y + 7/10x²

D. Cả A, B, C đều sai.

Ta có xy² + $\frac{1}{3}$x²y² + $\frac{7}{2}$x³y

= (5xy).M

⇒ M = (xy² + $\frac{1}{3}$x²y² + $\frac{7}{2}$x³y) : (5xy)

= $\frac{1}{5}$y + $\frac{1}{15}$xy + $\frac{7}{10}$x². => Chọn đáp án B.

Bài 2: Kết quả nào sau đây đúng?

A. (- 3x³ + 5x²y - 2x²y²):(- 2) = - 3/2x³ - 5/2x²y + x²y²

B. (3x³ - x²y + 5xy²):(1/2x) = 6x² - 2xy + 10y²

C. (2x⁴ - x³ + 3x²):(- 1/3x) = 6x² + 3x - 9

D. (15x² - 12x²y² + 6xy³):(3xy) = 5x - 4xy - 2y²

Ta có:

+ (- 3x³ + 5x²y - 2x²y²):(- 2)

= 3/2x³ - 5/2x²y + x²y²

⇒ Đáp án A sai.

+ (3x³ - x²y + 5xy²):(1/2x)

= 6x² - 2xy + 10y²

⇒ Đáp án B đúng.

+ (2x⁴ - x³ + 3x²):(- 1/3x)

= - 6x³ + 3x² - 9x

⇒ Đáp án C sai.

+ (15x² - 12x²y² + 6xy³):(3xy)

= 5x/y - 4xy - 2y²

⇒ Đáp án D sai. Chọn đáp án B.

Bài 3: Giá trị của biểu thức A = [(x - y)⁵ + (x - y)⁴ + (x - y)³]:(x - y) với x = 3, y = 1 là?

A. A =28 

B. A =16 

C. A =20 

D. A =14

Ta có A = [(x - y)⁵ + (x - y)⁴ + (x - y)³]:(x - y)

= (x - y)⁴ + (x - y)³ + (x - y)²

Với x = 3, y = 1 ta có A = (3 - 1)⁴ + (3 - 1)³ + (3 - 1)² 

= 2⁴ + 2³ + 2² = 16 + 8 + 4 = 28. Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

a, (1/2a²x⁴ + 4/3ax³ - 2/3ax²):(- 2/3ax²)

b, 4(3/4x - 1) + (12x² - 3x):(- 3x) - (2x + 1)

Hướng dẫn:

a) Ta có: ($\frac{1}{2}$a²x⁴ + $\frac{4}{3}$ax³ - $\frac{2}{3}$ax²):(- $\frac{2}{3}$ax²)

= ($\frac{1}{2}$a²x⁴: - $\frac{2}{3}$ax²) + ($\frac{4}{3}$ax³: - $\frac{2}{3}$ax²) + (- $\frac{2}{3}$ax²: - $\frac{2}{3}$ax²)

= - $\frac{3}{4}$ax² - 2x + 1

b) Ta có 4($\frac{3}{4}$x - 1) + (12x² - 3x):(- 3x ) - (2x + 1)

= 4($\frac{3}{4}$x - 1) + [(12x²: - 3x) + (- 3x: - 3x)] - (2x + 1)

= 4($\frac{3}{4}$x - 1) + (- 4x + 1) - (2x + 1)

= 3x - 4 + 1 - 4x - 2x - 1

= - 3x - 4

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B với:

A = 7x^{n - 1}y⁵ - 5x³y⁴;

B = 5x²yⁿ

Hướng dẫn:

Ta có A:B = (7x^{n - 1} y⁵ - 5x³y⁴):(5x²yⁿ)

= $\frac{7}{5}$x^{n - 3} y^{5 - n} - xy^{4 - n}

Theo đề bài đa thức A chia hết cho đơn thức B

Vậy giá trị n cần tìm là n∈{3; 4}

Bài 3: Tìm đa thức A biết

a, A.6x⁴ = 24x⁹ - 30x⁸ + $\frac{1}{2}$x⁵

b, A.(- $\frac{5}{2}$x³y²) = 5x⁶y⁴ + $\frac{15}{2}$x⁵y³ - 10x³y²

Hướng dẫn:

a) Ta có A.6x⁴ = 24x⁹ - 30x⁸ + $\frac{1}{2}$x⁵ 

⇒ A = (24x⁹ - 30x⁸ + $\frac{1}{2}$x⁵):(6x⁴)

⇔ A = $\frac{24}{6}$x⁹ - 4 - $\frac{30}{6}$x⁸ - 4 + $\frac{1}{12}$x⁵ - 4

= 4x⁵ - 5x⁴ + $\frac{1}{12}$x

Vậy A = 4x⁵ - 5x⁴ + $\frac{1}{12}$x.

b) Ta có A.(- $\frac{5}{2}$x³y²)

= 5x⁶y⁴ + $\frac{15}{2}$x⁵y³ - 10x³y² 

⇒ A = (5x⁶y⁴ + $\frac{15}{2}$x⁵y³ - 10x³y²):(- $\frac{5}{2}$x³y²)

⇔ A = - 2x⁶ - 3y⁴ - 2 - 3x⁵ - 3y³ - 2 + 4x³ - 3y² - 2

Vậy A = - 2x³y² - 3x²y + 1.