Anonymous

Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) (2022) - Toán 8

- asked 4 months agoVotes

0Answers

0Views

Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) - Toán 8

A. Lý thuyết

4. Lập phương của một tổng

+ Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có:

${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$

+ Chứng minh:

$\begin{array}{l} {\left( {A + B} \right)^3} = {\left( {A + B} \right)^2}.\left( {A + B} \right) = \left( {{A^2} + 2AB + {B^2}} \right)\left( {A + B} \right)\\ = {A^3} + {A^2}B + 2{A^2}B + 2A{B^2} + A{B^2} + {B^3}\\ = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} \end{array}$

+ Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính ${\left( {2a + 3b} \right)^3}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} {\left( {2a + 3b} \right)^3} = {\left( {2a} \right)^3} + 3.{\left( {2a} \right)^2}.3b + 3.2a.{\left( {3b} \right)^2} + {\left( {3b} \right)^3}\\ = 8{a^3} + 36{a^2}b + 54a{b^2} + 27{b^3} \end{array}$

5. Lập phương của một hiệu

+ Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}$

+ Chứng minh:

$\begin{array}{l} {\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {A - B} \right)^2}.\left( {A - B} \right) = \left( {{A^2} - 2AB + {B^2}} \right)\left( {A - B} \right)\\ = {A^3} - {A^2}B - 2{A^2}B + 2A{B^2} + A{B^2} - {B^3}\\ = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} \end{array}$

+ Ví dụ minh họa: ${\left( {x - y} \right)^3}$

Ví dụ 1: Tính

Lời giải:

${\left( {x - y} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}$

B. Bài tập Hằng đẳng thức đáng nhớ

I. Bài tập trắc nghiệm về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Câu 1: Biểu thức nào dưới đây viết được dưới dạng lập phương của một hiệu?

A. ${a^3} - 3a{b^2} + 3{a^2}b - {b^3}$	B. ${a^3} + 3{a^2}b - 3a{b^2} + {b^3}$
C. ${a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$	D. ${a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}$

Câu 2: Biểu thức nào dưới đây viết được dưới dạng lập phương của một tổng?

A. ${x^3} - 3{x^2} + 3x - 1$	B. ${x^3} + 2{x^2} + 2x + 1$
C. $27{x^3} + 27{x^2} + 9x + 1$	D. ${x^3} - 3{x^2} + 3x + 8$

Câu 3: Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn: ${\left( {x + 1} \right)^3} = 1$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 4: Giá trị của biểu thức ${x^3} - 6{x^2}y + 12x{y^2} - 8{y^3}$ tại x = 2021 và y = 1010 là:

A. 1

B. 4242

C. 2021

D. 1010

Câu 5: Khai triển biểu thức ${\left( {x - 1} \right)^3} - {\left( {x + 1} \right)^3}$ được:

C. 0

D. 1

II. Bài tập tự luận về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu

a, ${x^3} - 3{x^2} + 3x - 1$	b, $- {x^3} + 6{x^2} - 12x + 8$
c, $27{y^3} - 9{y^2} + y - \frac{1}{{27}}$	d, $8{x^6} + 12{x^4}y + 6{x^2}{y^2} + {y^3}$
e, ${x^3} + 9{x^2} + 27x + 27$	f, ${\left( {x + y} \right)^3}{\left( {x - y} \right)^3}$

Bài 2: Tìm x, biết:

a, ${\left( {x + 1} \right)^2} - x\left( {x - 3} \right) = 2x + 3$

b, $\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) - {\left( {x - 3} \right)^2} = 15$

c, ${\left( {x + 1} \right)^3} - \left( {{x^3} + 3{x^2} + 2x - 3} \right) = 0$

Bài 3: Chứng minh rằng:

a, ${a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$

b, ${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)$

C. Lời giải, đáp án bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ

I. Bài tập trắc nghiệm về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4	Câu 5
D	C	A	A	B

II. Bài tập tự luận về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1:

a, ${x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}$

b, $- {x^3} + 6{x^2} - 12x + 8 = {\left( {2 - x} \right)^3}$

c, $27{y^3} - 9{y^2} + y - \frac{1}{{27}} = {\left( {3y - \frac{1}{3}} \right)^3}$

d, $8{x^6} + 12{x^4}y + 6{x^2}{y^2} + {y^3} = {\left( {2{x^2}} \right)^3} + 3.{\left( {2{x^2}} \right)^2}.y + 3.\left( {2{x^2}} \right).{y^2} + {y^3} = {\left( {2{x^2} + y} \right)^3}$

e, ${x^3} + 9{x^2} + 27x + 27 = {\left( {x + 3} \right)^3}$

$\begin{array}{l} {\left( {x + y} \right)^3}{\left( {x - y} \right)^3} = {\left[ {\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)} \right]^3} = {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^3}\\ = {\left( {{x^2}} \right)^3} - 3{\left( {{x^2}} \right)^2}{y^2} + 3{x^2}{\left( {{y^2}} \right)^2} - {\left( {{y^2}} \right)^3}\\ = {x^6} - 3{x^4}{y^2} + 3{x^2}{y^4} - {y^6} \end{array}$

Bài 2:

$\begin{array}{l} {\left( {x + 1} \right)^2} - x\left( {x - 3} \right) = 2x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 3x = 2x + 3\\ \Leftrightarrow 3x = 2 \end{array}$

$\Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$

Vậy $S = \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}$

$\begin{array}{l} \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) - {\left( {x - 3} \right)^2} = 15\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2x - 6 - \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 15\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 - {x^2} + 6x - 9 = 15\\ \Leftrightarrow 5x = 30\\ \Leftrightarrow x = 6 \end{array}$

Vậy $S = \left\{ 6 \right\}$

$\begin{array}{l} {\left( {x + 1} \right)^3} - \left( {{x^3} + 3{x^2} + 2x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3} - 3{x^2} - 2x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 4 \end{array}$

Vậy $S = \left\{ { - 4} \right\}$

Bài 3:

a, Xét vế phải: ${\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} = {a^3} + {b^3}$ = vế trái (đpcm)

b, Xét vế phải:

$\begin{array}{l} \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)\\ = {a^3} + a{b^2} + a{c^2} - {a^2}b - abc - {a^2}c + {a^2}b + {b^3} + b{c^2} - a{b^2}\\ - {b^2}c - abc + {a^2}c + {b^2}c + {c^3} - abc - b{c^2} - {c^2}a\\ = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = VT \end{array}$