Cho tam giác ABC có góc B=15 dộ, góc C=30 độ và c = 2

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 3

Bài 3.45 trang 44 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=15°,\widehat{C}=30°$và c = 2.

a) Tính số đo góc A và độ dài các cạnh a, b.

b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho $\widehat{BCD}=\widehat{DCA}$(tức CD là phân giác của góc $\widehat{BCA}$). Tính độ dài CD.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}=180°-15°-30°=135°$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

Vậy $\widehat{A}=135°,a=2\sqrt{2}$và b = $\sqrt{6}-\sqrt{2}.$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

• $S=\frac{1}{2}.ab.\sin C=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right).\sin 30°=\sqrt{3}-1.$

• $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{2\sqrt{2}.\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right).2}{4.\left(\sqrt{3}-1\right)}=2.$

Vậy diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC lần lượt là $S=\sqrt{3}-1$và R = 2.

c)

Vì CD là tia phân giác của $\widehat{BCA}$nên $\widehat{BCD}=\widehat{DCA}=\frac{1}{2}\widehat{BCA}=15°$

Mà $\widehat{B}=15°$

Do đó tam giác BCD cân tại D.

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

$\Rightarrow$IB = IC = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}=\sqrt{2}$và DI ⊥ BC.

Xét tam giác CDI vuông tại I ta có:

CD = $\frac{CI}{cos\widehat{ICD}}=\frac{\sqrt{2}}{cos15°}=2\left(\sqrt{3}-1\right).$

Vậy CD = $2\left(\sqrt{3}-1\right).$